수학하는 아저씨

[문제 풀이] IMO 2024 문제 4.

uncle mathian — Thu, 3 Jul 2025 18:26:15 +0900

삼각형 $ABC$는 $\ls{AB}<\ls{AC}<\ls{BC}$를 만족한다. 이 삼각형의 내심과 내접원을 각각 $I$와 $\omega$라 하자. 점 $X$는 직선 $BC$ 위의 $C$가 아닌 점이고, $X$를 지나며 $AC$와 평행한 직선은 $\omega$에 접한다. 비슷하게 점 $Y$는 직선 $BC$ 위의 $B$가 아닌 점이고, $Y$를 지나고 $AB$에 평행한 직선은 $\omega$에 접한다. 직선 $AI$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 다시 만나는 점을 $P(\ne A)$라 하자. 점 $K$와 $L$을 각각 변 $AC$와 $AB$의 중점이라 할 때, $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$임을 보여라.

3번 차례인데 4번을 먼저 가져왔네요. 사실 3번의 풀이가 꽤 복잡해서 쉽게 정리하기가 어려워요. 최근 글을 올리지 못했던 것도 있어서 일단 좀 더 쉽게 정리할 수 있는 4번을 먼저 가져왔어요.

문제의 조건에 맞춰 그린 그림. 검은색으로 표시된 두 각의 합이 180˚인지 확인해 보자.

문제의 조건대로 그림을 그려보면 위와 같이 표현할 수 있죠.

점 $Q,R,S$를 표시한 그림.

위 그림처럼 점 이름을 추가했을 때, 사각형 $AQRS$는 마름모예요. 문제의 조건에 의해 평행사변형이라는 건 쉽게 알 수 있고, 내접원과의 접점으로 나뉘는 각 변의 길이를 생각했을 때 네 변의 길이가 같다는 걸 알 수 있죠.

내심 $I$는 선분 $AR$의 중점이니 삼각형의 닮음을 이용하면 $\angle CRB=\angle KIL$이라는 걸 알 수 있어요.

점 $B,P,R,X$와 $C,P,R,Y$가 각각 하나의 원 위에 있음을 나타낸 그림.

$\angle BYR+\angle CYR=180^\circ$이고 평행선의 엇각으로 $\angle BYR=\angle ABC$, 원 $\omega$의 원주각으로 $\angle ABC=\angle APC$가 성립하죠. 즉, 사각형 $CYRP$는 원에 내접하는 사각형이에요. 비슷한 방법으로 사각형 $BPRX$도 원에 내접한다는 걸 알 수 있죠.

위의 두 사각형의 외접원에서 각각 원주각의 성질을 이용하면 $\angle RPX=\angle RBX$와 $\angle RPY=\angle RCY$가 성립해요. 즉, 주어진 두 각의 합은 삼각형 $BRC$의 세 내각의 합과 같으니 180˚가 되죠.

[문제 풀이] 역삼각함수의 매클로린 급수

uncle mathian — Fri, 30 May 2025 16:12:32 +0900

$f(x)=\sin^{-1}x$의 매클로린 급수를 이용해\[\pi=3\sum_{n=0}^\infty{(2n)!\over(n!)^22^{4n}(2n+1)}\]임을 보이시오.

arcsin 함수의 매클로린 급수는 직접 구하기엔 상당히 까다로운 편이죠. 하지만 arctan 함수의 경우와 비교하면 조금 더 복잡하긴 해도 같은 방법을 쓸 수 있다는 걸 알 수 있어요.

테일러 급수 또는 매클로린 급수는 주어진 무한히 미분가능한 함수를 '다항식처럼' 표현하는 것으로 미분과 적분이 쉽고, 원래의 함수로 되돌아가는 것도 어렵지 않죠. arctan 함수의 도함수는 $1\over1+x^2$으로 $|x|<1$에 대해 공비가 $-x^2$인 기하급수(등비급수)로 생각할 수 있어요. 즉, 이 기하급수의 부정적분으로 arctan 함수의 매클로린 급수를 구할 수 있죠.

arcsin 함수도 마찬가지로 도함수의 매클로린 급수를 구하면 돼요. 이 도함수는 $1\over\sqrt{1-x^2}$으로 바로 어떤 급수의 형태로 표현하는 것은 어렵지만, 위에서 공비가 $r$인 기하급수 $1\over1-r$에서 $r=-x^2$으로 고쳤다고 생각할 수 있는 것처럼 $1\over\sqrt{1-u}$의 매클로린 급수를 구하고 $u=x^2$을 대입하면 비교적 쉽게 도함수의 매클로린 급수를 구할 수 있죠.

테일러 급수와 매클로린 급수에 대해 공부했다면 다들 아시겠지만 함수 $g(x)$에 대한 매클로린 급수에서 $n$차항의 계수는 $g^{(n)}(0)\over n!$이에요. $1\over\sqrt{1-u}$의 $n$계 도함수는 $(2n)!\over n!2^{2n}(1-u)^{(2n+1)/2}$이 되죠. 미분할 때마다 곱해지는 $2n-1\over2$을 $2n(2n-1)\over4n$로 보면 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

즉, 이 함수의 매클로린 급수에서 $n$차항의 계수는 $(2n)!\over(n!)^22^{2n}$이죠. 이제 이 매클로린 급수에 $u=x^2$을 대입하고 상수항이 0인 ($\arcsin0=0$이니까요.) 원시함수를 구하면\[\arcsin x=\sum_{n=0}^\infty{(2n)!x^{2n+1}\over(n!)^22^{2n}(2n+1)}\]이라는 걸 알 수 있어요.

여기서 $\pi=6\arcsin\frac12$이라는 사실을 이용하면 문제의 식이 성립한다는 걸 알 수 있죠.

유한 집합 사이에 정의된 함수의 개수

uncle mathian — Sun, 25 May 2025 21:17:49 +0900

오늘 소개할 내용은 함수의 정의와 경우의 수를 모두 배웠다면 한 번쯤 본 적이 있는 내용일 거예요. 바로 여러 가지 조건과 함께 두 유한 집합 사이에 정의할 수 있는 함수의 개수를 찾는 문제죠.

먼저 집합의 정의에 대해 배웠다면 일반적인 함수의 정의도 바로 배웠을 거예요. 수학은 집합과 함수로 모든 걸 설명하죠. 주어진 두 집합에 대해 한 집합의 원소마다 나머지 한 집합의 원소 하나를 대응시키는 게 바로 함수예요. 이 두 집합을 순서대로 $X$와 $Y$, 함수를 $f$라고 했을 때 $f:X\to Y$라고 쓰고, $X$를 정의역 domain, $Y$를 공역 codomain이라고 하죠. 각 $x\in X$에 대응하는 공역의 원소를 $x$에 대한 함숫값이라고 하고 $f(x)$라고 표현해요. 정의역의 원소마다 공역의 원소 하나만 대응하기에 이렇게 표현할 수 있죠.

함수 $f:X\to Y$에서 두 집합의 크기를 $\abs X=m$과 $\abs Y=n$이라 하면 가능한 함수 $f$는 정확히 $n^m$개라는 걸 알 수 있어요. 정의역의 원소마다 공역의 원소 중 하나를 선택하는 것이기에, 경우의 수로 생각한다면 $n$개의 원소 중 하나를 선택하는 독립시행을 $m$번 반복하는 게 되기 때문이죠. 이 계산에서 착안해 주어진 두 집합 $X$와 $Y$ 사이의 모든 함수 $f:X\to Y$의 집합을 $Y^X$로 표현하기도 해요.

위에서 소개한 경우의 수는 다른 조건이 없이 가능한 모든 함수에 대한 거죠. 여기에 조건을 추가한 경우 함수의 개수는 어떻게 될까요? 우선 위의 경우의 수는 $n$개의 원소 중 순서에 따라 중복을 허용해서 $m$개를 뽑는 '중복 순열'과 같아요. 여기서 '순서'와 '중복'의 기준을 바꾸는 조건을 주면 이런 조건을 만족하는 함수의 개수는 순열이나 조합, 중복 조합으로 셀 수 있겠죠.

'중복'을 허용하지 않는 조건은 바로 일대일 함수 one-to-one function예요. 단사함수 injection라고도 하죠. 위의 집합의 크기를 그대로 가져왔을 때, 일대일 함수의 개수는 $_n\mathrm P_m={n!\over(n-m)!}$이 되겠네요. 물론 이 경우 $m\le n$이 성립해야 하죠. $m>n$이라면 $_n\mathrm P_m=0$이에요.

'순서'를 무시하는 경우는 조금 생각할 필요가 있어요. '순서에 따라'라고 표현은 했지만, 실제로 순열과 중복 순열로 세는 경우는 '순서를 줄 수 있는 경우'죠. 구분할 수 없는 대상에 순서를 줄 수는 없으니 각각의 선택을 구분할 수 있는가가 중요해요. 순서를 무시하려면 이 구분을 없애야 하지만, 정의역의 원소가 모두 같다고 둘 수는 없죠. 그래서 정의역과 공역의 원소에 각각 순서를 주고, 함숫값의 순서가 정의역의 원소 순서를 그대로 따르는 경우를 생각하면 결국 순서에 관계없이 뽑는 것과 마찬가지가 돼요.

여기서 각 집합의 순서를 크기관계로 생각하면, 증가함수 increasing function 또는 감소함수 decreasing function의 개수를 중복 조합으로 셀 수 있다는 거죠. 증가함수는 정의역의 원소 $a$와 $b$에 대해 $a\le b$일 때 $f(a)\le f(b)$가 성립하는 함수 $f$를 말해요. 등호를 포함하기 때문에 중복을 허용하는 경우로 봐야 하죠. 자연수의 유한 부분집합 $X$와 $Y$에 대해 증가함수 $f:X\to Y$의 개수는 $_\abs Y\mathrm H_\abs X$가 돼요.

증가함수의 정의에서 등호를 제거한 경우를 (한글로는 흔히 사용하지는 않는 표현이지만) 강증가함수 strictly increasing function라고 하죠. 강증가함수는 일대일 함수로 함숫값의 중복을 허용하지 않아요. 위의 '증가함수의 개수'를 '강증가함수의 개수'로 고치면 $\binom{\abs Y}{\abs X}=_\abs Y\mathrm C_\abs X$가 된다는 거죠. 물론 이 경우에도 일대일 함수이기에 $\abs X\le\abs Y$가 성립해야 해요.

지금까지 소개한 내용은 각 경우의 수에 맞춰 조건을 설정한 것이고, 문제에 따라서는 전혀 다른 조건으로 이루어지거나 추가될 수도 있겠죠. 하지만 이 내용들을 제대로 이해하고 있다면 충분히 문제의 조건에 대한 풀이를 찾을 수 있을 거라고 생각해요.

추가로 순열이나 조합 등에 대해 영어 표현을 따로 적지 않았는데, 표현이 한글과는 바로 이어지지 않아 다음 기회에 따로 소개하도록 할게요.

[문제 풀이] IMO 2024 문제 2.

uncle mathian — Tue, 13 May 2025 18:36:04 +0900

다음 조건을 만족하는 양의 정수 $g$와 $N$이 존재하는 양의 정수 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.

(조건) 모든 정수 $n\ge N$에 대해 $\gcd(a^n+b,b^n+a)=g$이다.

(단, $\gcd(x,y)$는 두 정수 $x,y$의 최대공약수이다.)

$(a,b)$가 조건을 만족할 때, 수열 $x_n=\gcd(a^n+b,b^n+a)$를 생각해 보죠. $a$와 $b$에 동시에 서로소인 $ab+1$에 대해 $\ph(ab+1)|n$이라면 $a^n\equiv b^n\equiv1\pmod{ab+1}$이 성립해요. ($\ph(m)$은 양의 정수 $m$에 대해 그보다 작은 서로소 개수를 의미해요.) 이 내용이 유명한 오일러의 정리 Euler's theorem죠. 자세한 증명은 나중에 기회가 있으면 다루기로 할게요.

동시에 $n>N$이 성립한다고 가정할 수 있죠. $x_{n-1}$에 대해 살펴보면,\[a\p{a^{n-1}+b}=a^n+ab\equiv1-1=0\pmod{ab+1}\]이고 비슷하게 $b\p{b^{n-1}+a}\equiv0\pmod{ab+1}$이기에 $x_{n-1}\equiv0\pmod{ab+1}$이 성립해요.

$n>N$으로부터 $g=x_{n-1}=x_n=x_{n+1}=\cdots$가 성립하고, $x_n$에 대해 살펴보면, $0\equiv a^n+b\equiv1+b\pmod{ab+1}$과 $0\equiv b^n+a\equiv1+a\pmod{ab+1}$로부터 $a\equiv b\equiv-1\pmod{ab+1}$이라는 걸 알 수 있죠.

마지막으로 $x_{n+1}$에 대해 살펴보면,\[0\equiv a^{n+1}+b\equiv b^{n+1}+a\equiv a+b\pmod{ab+1}\]이기에 $a\equiv b\equiv-1\pmod{ab+1}$로부터 $0\equiv2\pmod{ab+1}$, 즉, $ab+1=2$라는 걸 알 수 있어요. $a$와 $b$는 양의 정수이기에 $a=b=1$이죠.

[문제 풀이] 삼각형의 내접원과 방접원

uncle mathian — Sun, 11 May 2025 23:04:12 +0900

직각삼각형 ABC의 넓이가 $15\over2$이고 내접원의 반지름이 1일 때, 세 방접원의 반지름을 모두 구하시오.

먼저 세 내각의 크기관계를 $\rm\angle A<\angle B<\angle C$라고 할게요. 내각 C는 직각일 테고, 각 대변의 길이를 $a,b,c$라 할 때 $a<b<c$가 성립하죠. 주어진 넓이로부터 $b=\frac{15}a$라는 걸 알 수 있어요.

내심 I에서 각 꼭짓점에 그은 선분과 각 변에 내린 수선으로 여섯 개의 직각삼각형을 만들면 빗변을 공유하는 것들끼리 합동이 되죠. 이 수선의 발을 마주 보는 꼭짓점에 맞춰 $\rm T_A,T_B,T_C$라고 하면 사각형 $\rm IT_ACT_B$는 정사각형이에요.

위 사실을 이용하면 $c=(a-1)+(b-1)=a+b-2$가 되죠. 여기에 피타고라스 정리를 이용하고 $b=\frac{15}a$를 대입하면\[\eqalign{(a+\frac{15}a-2)^2&=&a^2+{225\over a^2}\\4+30-\frac{60}a-4a&=&0\\2a^2-17a+30&=&0}\]에서 $a=\frac52$라는 걸 알 수 있어요. ($a=6$이면 $b=\frac52<a$니까요.)

직각삼각형 ABC와 내접원, 방접원. 문제의 조건에 맞게 그렸다.

위 그림과 같은 삼각형이라는 거죠. 그림에 나타낸 것처럼 세 방심 $\rm J_A,J_B,J_C$, 이 점들에서 각각 가까운 변에 내린 수선의 발을 $H_A,H_B,H_C$라 할게요. 두 방심을 이은 직선은 방심의 정의에 의해 그 사이에 있는 꼭짓점에서의 외각을 이등분하죠. 꼭짓점과 내심을 이은 직선은 내각의 이등분선으로 같은 꼭짓점의 내각과 외각의 합이 $\pi=180^\circ$라는 점을 생각하면 삼각형 ABC의 두 꼭짓점 X와 Y에 대해 직각삼각형 $\rm IXT_Y$와 $\rm XJ_YH_Y$는 닮음이란 걸 알 수 있어요.

즉, 직각삼각형 $\rm CJ_AH_A$와 $\rm CJ_BH_B$는 이등변삼각형이고, 이를 이용하면 $\rm IAT_B$와 $\rm AJ_BH_B$가 합동, $\rm IBT_A$와 $\rm BJ_AH_A$가 합동이라는 걸 알 수 있죠. 따라서 $\rm J_A$를 중심으로 하는 방접원의 반지름이 $a-1=\frac32$, $\rm J_B$쪽은 5가 돼요. 마찬가지로 $c=\rm\ls{AH_C}+\ls{BH_C}=\ls{AT_C}+\ls{BT_C}$와 삼각형의 닮음을 이용해 계산하면 나머지 하나의 반지름이 $15\over2$라는 걸 알 수 있죠.

https://www.desmos.com/geometry/hsrzsitalj

제목 없음

www.desmos.com

그림을 더 자세히 살펴보고 싶다면 위 링크를 확인해 보세요.

[문제 풀이] 삼각형의 외심, 중심각과 원주각, 엇각과 동위각

uncle mathian — Wed, 7 May 2025 15:37:56 +0900

평행사변형 ABCD에서 $\rm\ls{AB}=3cm,\quad\ls{BC}=6cm$이고, 점 D에서 변 AB의 연장선에 내린 수선의 발을 E라 하자. $\rm\ls{BC},\quad\ls{AD}$의 중점이 각각 M, N이고 ∠BEM = 25˚일 때, ∠EMC의 크기를 구하시오.

위 문제의 도형을 표현한 그림. 길이는 표시하지 않았지만 좌표평면의 거리 1을 1cm으로 생각할 때 정확히 일치하는 그림이다. 참고로 지식iN에 올라온 질문의 그림은 왜곡이 있었다.

지식iN 질문에 올라온 그림에는 왜곡이 있기도 해서 특징이 잘 보이지 않을 수도 있지만, 원주각의 성질을 이용하면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제예요.

삼각형 ADE는 직각삼각형으로 그 외심이 빗변 AD의 중점이 되죠. 즉, 이 빗변이 외접원의 지름이 되고 평행사변형 ABCD의 한 변이니 그 길이가 선분 BC와 같은 6cm예요. 사각형 ABMN 역시 평행사변형으로 변 MN의 길이가 AB와 같은 3cm이기에 점 M은 이 원 위의 점이죠.

직각삼각형 ADE의 외접원을 추가한 그림. 중심각과 원주각의 관계, 평행선에서 엇각의 크기가 같다는 사실을 이용해 문제가 원하는 각을 구할 수 있다.

위 그림에서 알 수 있듯이 각 ANM은 AEM을 원주각으로 가지는 호에 대한 중심각으로 그 크기가 50˚예요. 평행선에서 엇각의 크기가 같다는 사실을 이용하면 ∠EMC = ∠EMN + ∠NMC = ∠BEM + ∠ANM = 75˚라는 걸 알 수 있죠.

https://www.desmos.com/geometry/hmng8plnlt

제목 없음

www.desmos.com

위 링크에서 자세한 그림을 확인할 수 있어요.

[문제 풀이] IMO 2024 문제 1.

uncle mathian — Mon, 28 Apr 2025 15:47:45 +0900

다음 조건을 만족하는 실수 $\alpha$를 모두 찾아라.

(조건) 모든 양의 정수 $n$에 대해 정수\[\flr\alpha+\flr{2\alpha}+\cdots+\flr{n\alpha}\]가 $n$의 배수이다.

(단, $\flr z$는 $z$를 넘지 않는 가장 큰 정수이다. 예를 들어, $\flr{-\pi}=-4,\quad\flr{2.9}=2$이다.)

https://www.imo-official.org/

International Mathematical Olympiad

<!-- József Pelikán (1947--2023) RIP József Pelikan passed away at the beginning of 2023. He was one of the most outstanding and important members of the IMO family, who had a decisive impact on the history of the IMO, as a contestant, team leader and f

www.imo-official.org

위의 링크는 국제 수학 올림피아드에 대해 안내하는 공식 홈페이지예요. 공식이라기엔 초라해 보이긴 하지만, 뭐 화려한 게 중요한 건 아니죠.

지식iN에서 질문받았던 내용 중에 올림피아드 출제 문제도 있었던 것 같아서 직접 풀어볼까 해서 들어가 봤어요. 다행히 문제들을 공개하고 있었죠. 작년뿐 아니라 연도별 문제를 각국 언어로 번역까지 해서 제공하고 있네요.

위의 문제는 작년 1번 문제예요.

먼저 가장 쉽게 조건을 만족하는 $\alpha$를 생각해 보죠. 바로 0이에요. 약수와 배수에 대해 제대로 공부했다면 0이 모든 정수의 배수라는 사실을 기억해야겠죠.

표현을 간단히 하기 위해\[s_\alpha(n)=\flr\alpha+\flr{2\alpha}+\cdots+\flr{n\alpha}\]라고 할게요. $n$이 어떤 값이든 상관없이 $s_0(n)=0$이 성립한다는 걸 알 수 있죠. 즉, $\alpha=0$일 때 문제의 조건이 성립해요.

양의 정수 $n$에 대해 $s_1(n)={n(n+1)\over2}$이기에 $n$이 홀수라면 조건이 성립하지만, 짝수라면 성립하지 않는다는 걸 알 수 있죠. 마찬가지로 $\alpha$가 정수라면 $s_\alpha(n)={n(n+1)\alpha\over2}$이기에 모든 양의 정수 $n$에 대해 성립하기 위해서는 $\alpha$가 짝수여야 해요.

사실, 문제의 조건을 만족하는 실수 $\alpha$는 위와 같이 짝수인 경우뿐이죠. 이를 증명하기 위해서는 나머지 경우에 대해 반례를 들어주면 돼요.

$\alpha$가 정수가 아니라면 $m<\alpha<m+1$을 만족하는 정수 m이 존재하겠죠. 또한 $\frac1{p+1}\le\alpha-m<\frac1p$을 만족하는 양의 정수 $p$도 존재해요.

$m$이 홀수이고 $p$가 1이 아니라면 $s_\alpha(2)=3m$은 2의 배수가 아니죠. $p=1$이라면 ${q\over q+1}\le\alpha-m<{q+1\over q+2}$을 만족하는 양의 정수 $q$가 존재해요.\[\eqalign{s_\alpha(q+2)&=&{(q+2)(q+3)m\over2}+{(q+1)(q+2)\over2}-1\\&=&{(m+1)q+3m+1\over2}(q+2)-1}\]은 $m$이 홀수이니 $q+2$의 배수가 아니죠.

$m$이 짝수라면 $s_\alpha(p+1)={(p+1)(p+2)m\over2}+1$이 $p+1$의 배수가 아니에요.

$\alpha$가 정수가 아닌 모든 경우에서 반례가 존재하니 문제의 조건을 만족하는 실수 $\alpha$는 위에서 말했던 것처럼 모든 짝수뿐이죠.

[desmos] 삼각함수를 좌표로 나타내 보자.

uncle mathian — Fri, 11 Apr 2025 14:29:10 +0900

방정식 $x^2+y^2=1$로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 $\th$에 대해 $(\cos\th,\sin\th)$가 되죠.

이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.

저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.

먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 $\th$로 나타나지만 다른 변수를 쓸 필요가 별로 없기에 쉽게 매개변수로 인식하는 $t$를 변수로 썼어요. $p(t)=(\cos\frac\pi6t,\sin\frac\pi6t)$라고 입력하면, 그림에 표현하는 내용 없이 매개변수 방정식을 정의할 수 있어요. $\pi\over6$를 곱해준 건 특수각이라고 부르는 각에 정확히 멈추게 하기 쉽도록 조정한 거죠.

그다음 줄이 실제로 주황색 점을 그림에 표현하는 식 $p(a)$예요. $a$는 다른 알파벳이라도 상관은 없죠. 앞서 사용한 것과 겹치지만 않으면 돼요. 이렇게 쓰지 않던 변수를 새로 입력하면 대부분 슬라이더를 추가해 주죠. 위의 그림은 이 $a$에 대한 슬라이더를 이용해 재생한 거예요. 범위는 $0\le\frac\pi6a\le2\pi$가 성립하도록 $0\le a\le12$로 했죠.

다음으로 나오는 보라색 곡선들은 범위는 다르지만 똑같이 $p(t)$로 표현되어 있죠. 위에서는 이 뒤에 등호를 써서 식을 정해주기 때문에 매개변수 방정식으로 인식해서 그림에 표현하지 않았지만, 이미 정의한 함수를 다시 입력하면 이렇게 범위를 입력할 수 있게 돼요. 원을 그리는 방법은 여러 가지가 있지만, 매개변수 방정식이 있으니 이걸 이용해서 그려본 거죠. 원이 되기 위해서는 $a$의 범위처럼 $0\le t\le12$면 되겠네요. 또한 주황색 점이 움직이는 궤적을 표현하기 위해 바로 다음 보라색 곡선은 $0\le t\le a$로 범위를 줬죠. 앞의 곡선은 설정(입력창의 톱니바퀴 모양)을 통해 불투명도를 낮춰서 구분했어요.

이제 남은 건 주황색 점에서 원점에 그은 선분과 각 축에 내린 수선, 그리고 각과 좌표의 표현이죠. 기하학 도구에서는 좀 더 편하게 그릴 수도 있지만, 그래핑 계산기에서는 모두 식으로 나타내야 해요. 먼저 각 선분은 양 끝점의 좌표에 각각 $(1-t)$와 $t$를 곱해서 더한 식으로 나타내죠. 선분의 내분을 생각하면 이해가 쉬울 거라고 생각해요. 이때 매개변수 $t$를 사용하면 따로 슬라이더가 생성되지 않고, 위의 $p(t)$로 나타낸 곡선처럼 범위를 입력할 수 있게 되죠. 직선이라면 실수 전체, 선분이라면 $0\le t\le1$로 주면 되죠. 선분이 되는 범위가 기본값이에요. 이를 이용해서 반지름과 수선을 그리는 거죠. 수선은 설정에서 파선으로 변경했어요.

마지막으로 각과 좌표의 표현은 기하학 도구라면 점이 아니라도 글자를 넣을 수 있지만, 그래핑 계산기에서는 매개변수로 나타낸 곡선과 선분 등에는 글자를 넣을 수 없죠. 그래서 각 수선의 발을 좌표로 나타내고, 입력칸 아래에 생기는 '레이블'을 체크해서 글자를 써 주면 돼요. 위의 그림처럼 수식 표현을 예쁘게 쓰려면 $\TeX$ 명령어를 사용하고 좌우에 `(grave, 강세를 표시할 때 쓰는 따옴표와 비슷한 기호, 키보드에서 1의 왼쪽에 있는 키)를 써 주면 되죠.

각의 경우 점이 움직이는 궤적을 나타낸 보라색 곡선과 마찬가지로 $0\le t\le a$의 범위에서 $p(t)$의 반지름을 줄여 나타내면 돼요. 좌표에 양수를 곱해도 방위각은 변하지 않으니 적당한 양의 정수로 나눠주면 되겠죠. 여기 표현된 $\th$는 $a\over2$에 해당하는 점을 찍고 레이블한 뒤 점을 숨긴 거예요. 앞서 나온 양의 정수와 같은 값으로 나눌 수도 있지만, 겹치지 않게 조금 더 작은 수로 나눴죠.

각 좌표의 표현이 빗변의 길이가 1인 직각삼각형을 이용했다고 생각하면 다른 변을 1로 뒀을 때 나머지 변이 또다른 삼각함수를 나타낸다는 걸 예상할 수 있어요. 이를 이용해 다른 삼각함수까지 모두 표현한 게 아래의 그림이죠.

빗변이 아닌 두 변 중에서 기준이 되는 각 $\th$와 만나는 변의 길이를 분모로 계산할 수 있는 삼각함수는 $\tan\th$와 $\sec\th$예요. 즉, 이 길이를 1로 두면 나머지 두 변의 길이가 각각 $\tan\th$와 $\sec\th$라는 거죠. 각 $\th$의 두 변이 단위원과 만나는 각 점에서 접선을 그으면 각의 두 변과 함께 직각삼각형을 하나씩 만들어요. 이 직각삼각형들의 한 변의 길이가 1이니 (단위원의 반지름) 나머지 두 변의 길이가 앞서 설명한 것처럼 $\tan\th$와 $\sec\th$가 되죠. 길이가 1인 변이 $x$축과 일치하는 경우, 접선은 $x=1$이 될테고 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이가 $\tan\th$로 빗변이 직선 $x=1$과 만나는 점의 $y$좌표에 나타나요. 빗변의 길이 $\sec\th$를 좌표로 나타내려면 빗변을 $x$축과 일치하도록 하면 되겠죠.

마찬가지로 $\th$의 대변의 길이를 1이 되게 직각삼각형을 그리면 나머지 변의 길이는 $\cot\th$와 $\csc\th$가 돼요. 이 경우는 위 그림에 나타난 $\th$를 한 각으로 그리긴 힘들죠. 그래서 $y$축과 주황색 선분이 이루는 각을 한 내각으로 하는 직각삼각형을 그리면 직각이 아닌 나머지 한 내각이 $\th$에 해당한다는 사실을 이용해 다른 방향으로 직각삼각형을 그리면 돼요. 물론 $\th$가 제1사분면의 각이 아니라면 이 직각삼각형의 내각이 $\th$가 되지 않기도 하지만 그에 대응하는 $\pi\pm\th$ 등의 각으로 표현되죠. 나머지 과정은 좌표만 바뀔뿐 위와 거의 같아요.

이 그림에서 추가된 입력에 대해 자세히 설명하지는 않았지만, 위 설명을 보고 앞서 나온 그림에 입력한 내용들을 참고하면 어렵지 않게 그릴 수 있겠죠.

https://www.desmos.com/geometry/5vhmb6js7c

Desmos | 기하학

www.desmos.com

위의 링크는 같은 내용을 기하학 도구로 표현한 거예요. 슬라이더를 추가하거나 입력칸의 설정을 바꾸기 위해서는 수식으로도 입력해야 하죠. 그린 대상을 선택해 '더 보기'의 '수식 리스트로 이동'을 선택하면 수식 표현을 추가할 수 있어요. 이 링크의 파선으로 표현한 선분들은 모두 함께 선택해 'dashed'라는 폴더로 수식을 추가했죠. 불투명도나 파선 등의 표현은 입력칸의 설정에서 가능해요.

제가 한 설명을 보고 그래핑 계산기나 기하학 도구로 어렵지 않게 그릴 수 있을 거예요.

[문제 풀이] 경우의 수, 중복 조합의 응용

uncle mathian — Fri, 28 Mar 2025 10:04:20 +0900

다음 조건을 만족하는 자연수 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$의 모든 순서쌍 $\p{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6}$의 개수를 구하시오.

(가) $1\le a_1<a_2\le a_3<a_4\le a_5<a_6\le10$
(나) $\sum_{n=1}^6(-1)^na_n=5$

(나)의 항들을 순서대로 둘씩 묶어서 생각하면 $\p{a_2-a_1}+\p{a_4-a_3}+\p{a_6-a_5}=5$가 되죠. (가)의 부등호에 따라 $k=1,2,3$에 대해 $a_{2k}-a_{2k-1}>0$이고, 이들의 합이 5라는 사실로부터, 둘은 1이고 남은 하나는 3이거나 하나는 1이고 나머지는 2여야 해요. 순서에 따라 총 6가지의 경우가 생기죠.

$a_n$이 순서에 따라 크기가 커진다는 사실을 이용해, $m=1,2,3,4,5$에 대해 $d_{m+1}=a_{m+1}-a_m$로 바꿔주면 $a_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6=a_6\le10$이 성립한다는 걸 알 수 있어요. $d_1=a_1-1$이라 하고 $d_2+d_4+d_6=5$라는 사실을 이용하면 $d_1+d_3+d_5+6\le10$이라고 정리할 수 있죠. $d_0=4-d_1-d_3-d_5$라 하면 $d_0,d_1,d_3,d_5$는 모두 음이 아닌 정수로 그 합이 4라는 걸 알 수 있어요.

위의 설명이 바로 중복 조합이죠. 네 개의 음이 아닌 정수의 합이 4이니 여기서 가능한 경우의 수는\[\mc44=\binom{4+4-1}4=35\]죠. 여기서 $\binom ab$는 $a$개 중에서 $b$개를 선택하는 조합, $\mc ab$는 중복 조합을 표현한 거예요.

위의 각 경우에 대해 $d_2,d_4,d_6$의 경우는 처음에 설명한 것처럼 6가지이니 구하고자 하는 순서쌍의 개수는 이 두 경우의 수를 곱한 210이라는 걸 알 수 있죠.

[문제 풀이] 경우의 수, 도로망

uncle mathian — Mon, 24 Mar 2025 05:07:51 +0900

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.

그림 : 도로망

(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.
(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.

이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.

각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 지나는 다른 경우와 비교해서 한 칸을 덜 움직인다는 걸 알 수 있어요. 움직이는 횟수를 통일하기 위해서는 대각선으로 표현된 길들의 가운데에 점을 찍어 두 칸으로 세는 게 혼동을 줄일 수 있어요.

P에서 B까지의 필요한 이동 횟수를 통일하기 위해 대각선 방향의 길들을 이동하는 데에 2회가 필요하도록 각각의 가운데에 점을 추가했다.

이제 A에서 P까지와 P에서 B까지의 경로 개수를 각각 세어봐야겠죠. 이동 방향이 제한되어 있기에 각 회차에 지날 수 있는 점은 다른 회차에서 지나는 경우는 없어요. 예를 들어 A의 위에 있는 점과 오른쪽에 있는 점은 모두 한 번 이동했을 때만 머물 수 있죠. 이 두 점을 모두 지나는 일은 없으니 각각의 경우는 배반사건으로 '덧셈 법칙'이 성립해요.

이렇게 각 회차에 지날 수 있는 점들을 살펴보면 A에서 P까지의 도로망은 3회차에서 지날 수 있는 점들을 잇는 직선에 대해 대칭이라는 걸 알 수 있어요. 마찬가지로 P에서 B까지의 도로망은 전체 경로에서 9회차에 지날 수 있는 점들을 잇는 직선에 대해 대칭이죠.

3회차에 지날 수 있는 점들을 기준으로 살펴보면, A에서 이 점들까지의 경로와 이 점들에서 P까지의 경로가 대칭성에 의해 방향만 반대이고 같은 도로망을 가지기에 같은 경우의 수를 가진다는 걸 알 수 있어요. P까지의 경로 개수와 P로부터의 경로 개수에 대해 곱셈 법칙이 적용되는 것과 마찬가지로, 위의 두 경우의 수를 곱해서 각 점들을 지나는 경우의 수를 얻을 수 있죠. 또한, 위에서 설명한 1회차에 지날 수 있는 점들에 대한 설명처럼, 3회차에 지나는 점들에 대해서도 덧셈법칙이 적용된다는 걸 알 수 있어요.

3회차에 지날 수 있는 점 L, C, R.

위 그림에서 표시된 세 점 L, C, R이 바로 3회차에 지날 수 있는 점들이죠. A에서 R까지의 경로는 가로로 세 번 이동하는 경우밖에 없어요. L까지의 경로는 L의 바로 아래에 있는 점을 지나야 하고, 이 점에 오는 경로는 1회차에 지날 수 있는 두 점을 지나는 두 경우로 2가지라는 걸 알 수 있죠. C까지의 경로는 총 세 번의 이동 중 세로로 이동하는 회차를 선택하는 방법으로 셀 수 있어요. 즉, 곱셈 법칙에 의해 A에서 P까지의 경로 중 위 세 점을 지나는 경우는 각각 1², 2², 3²이고, 덧셈 법칙에 의해 총 14가지라는 걸 알 수 있죠.

P에서 B까지의 경로도 마찬가지로 9회차에 지날 수 있는 점들을 기준으로 세어보면 $2^2+4^2+1^2+1^2=22$가지예요. 즉, 구하고자 하는 경우의 수는 308이 되죠.