가우스 적분

통계학을 배우다 보면 나오는 정규 분포 normal distribution의 그래프를 본 적이 있을 거예요. 아시는 분도 있겠지만 정확히는 그 확률 밀도 함수 probability density function$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$의 그래프로 흔히 '종 모양 곡선'이라고 하죠. $\mu$는 평균 mean(기댓값 expectation), $\sigma$는 표준편차 standard deviation를 나타내요.

특히 $\mu =0$이고 $\sigma =1$인 경우를 표준 정규 분포 standard normal distribution라고 하죠.

표준 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수의 그래프. $x$의 변화에 비해 $y$의 변화가 작아 비율을 조정했다.

위의 그림은 사실 두 곡선을 겹쳐 그렸어요. desmos 그래핑 계산기에 저장된 normaldist함수와 위의 확률 밀도 함수를 비교하기 위해서죠.

https://www.desmos.com/calculator/w6vb1pn2tj

Desmos | 그래핑 계산기

위의 링크에 들어가 확인해 볼 수 있어요. 비율 조정은 normaldist함수에서 기본으로 제공하니 새 그래프로 한 번 확인하시면 좋겠네요.

이 곡선이 확률 밀도 함수라면, 정의역 전체에서 적분한 값이 1이죠. 확률 밀도함수는 그 적분으로 확률을 표현하니까요. $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=1.$$

하지만 적분이 그리 쉽지는 않아요. 흔히 아는 공식들로 적분할 수 있는 식이 아니죠. 물론 관심이 있으신 분은 어디선가 이미 본 기억이 있을 수도 있지만, 이 적분은 특이하게 단일 적분인데도 중적분을 이용해 계산하죠.

먼저 식을 조금 단순화한$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx$$를 계산할 거예요. 이 적분을 가우스 적분 Gaussian integral이라고 하죠.

$I$의 적분함수를 살펴보면 지수에 제곱이 있는 형태로, $I^2$에서 각 적분의 변수를 구분해 적으면 지수에 두 변수의 제곱 합이 나타나요.$$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y^2}dy={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dA.$$이렇게 말이죠. 적분영역이 좌표평면 전체이고, 함수가 극좌표계로 수정하기 좋은 형태가 됐어요. 이렇게 하는 이유는 적분함수에 일차 단항식을 곱해주면 비슷한 함수의 도함수가 되는데, 마침 극좌표계로 치환하면 $dA=rdrd\theta$가 되기 때문이죠.$$I^2={\int }_{-\pi }^{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{-r^2}drd\theta ={\int }_{-\pi }^{\pi }(\frac{e^{-0^2}}{2}-\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{-r^2}}{2})d\theta =\pi .$$이렇게 회전체의 부피처럼 계산되기에 $I=\sqrt{\pi }$라는 어찌 보면 엉뚱한 값이 나오네요. 그래서 위의 확률 밀도 함수에 $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$이 곱해져 있는 거죠.

이제 다시 위의 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수를 적분하려면 $t=\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }$로 치환하면 되겠죠. $\sqrt{2}\sigma dt=dx$이므로$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dt=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}dt=1$$이에요.

이번엔 정규 분포의 확률 분포 함수를 적분하기 위해 필요한 가우스 적분에 대해서만 설명해 봤어요. 사실 정규 분포라면 따라 나오는 중심 극한 정리를 설명해야겠지만, 이 내용은 다음에 기회가 있을 때 다시 설명하도록 할게요.