수학하는 아저씨

방정식 $x^2+y^2=1$로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 $\theta$에 대해 $(\cos \theta ,\sin \theta )$가 되죠.이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 $\theta$로 나..

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3{)}^2+(y+3{)}^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B..

세 점 A$(-4,2\sqrt{5})$, B$(4,-2\sqrt{5})$, C$(8,3\sqrt{5})$에 대해 두 점 P, Q가 다음 조건을 모두 만족한다.(가) 직선 AP의 기울기와 직선 BP의 기울기의 곱은 -1이다.(나) 점 Q는 선분 BP의 중점이다.선분 CQ의 길이의 최댓값은?(가)에서 말하는 기울기의 곱이 -1이라는 건 두 직선이 수직이라는 말이죠. 즉, 삼각형 ABP는 각 P가 직각인 직각삼각형이라는 걸 알 수 있어요. 원주각과 중심각의 관계에 의해 이 삼각형의 외접원은 선분 AB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있죠.위 그림과 같이 외접원은 원점 O를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 되겠네요. 여기서 삼각형 OBQ가 ABP와 닮음이니 점 P가 원 위의 점인 것처럼, Q도 $\p{2,-\sqr..

오랜만에 desmos 실습이네요. 이번엔 삼각형의 오심인 무게중심, 내심, 외심, 수심, 방심을 작도해 볼게요.비교적 쉬운 내용이니 각 단계를 자세히 설명하면서 desmos의 기하학 도구를 사용하는 법을 설명할까 해요.먼저 기하학 도구에 들어가서 삼각형을 그려줘야겠죠.https://www.desmos.com/geometry/0ifmo7rbni Desmos | 기하학 www.desmos.com평면 위에 아무 점이나 찍어 다각형 도구를 이용해 삼각형을 그려줬어요. 별다를 것 없는 삼각형이죠. 각 꼭짓점은 이동할 수 있으니 원하는 모양의 삼각형으로 조정도 가능해요. 따라 하실 분은 링크로 들어가서 삼각형을 그대로 쓰셔도 되고, 직접 그리셔도 상관없겠죠.먼저 무게중심 centroid은 세 중선의 교점이니 각 꼭..

중학교에서 피타고라스 정리를 배우고 나면 여러 가지 직각삼각형을 문제에서 접하게 되죠.흔히 '특수각'이라고 하는 30˚, 45˚, 60˚를 이용해서 만들 수 있는 두 직각삼각형을 제외하면 세 변의 길이 비가 3:4:5, 5:12:13, 8:15:17인 경우가 자주 나와요. 물론 직각삼각형이니 피타고라스 정리를 만족하죠.이런 세 자연수는 어떻게 찾을 수 있을까요?피타고라스 정리를 만족하는 세 자연수를 피타고라스 수(삼조) Pythgorean triple라고 해요. 셋 중 둘을 알면 나머지 하나는 피타고라스 정리로 찾을 수 있겠죠. 가장 큰 하나는 빗변에 해당하니 나머지 둘의 제곱합이 자연수의 제곱이 되는지 보면 되겠네요.고등학교에서 삼각함수를 정의할 때처럼, 빗변이 아닌 한 변을 $x$좌표, 나머지 하나를..

기하학 도구를 이용해 글을 몇 개인가 쓰긴 했지만, 몇 가지 아쉬운 부분이 있었어요. 지식iN 답변에도 사용하곤 하면서 이제 조금 익숙해졌죠.기하학 도구의 기본은 '점'이에요. 모든 대상을 기준이 되는 점으로 정의하죠. 선분이라면 양 끝점, 원이라면 중심과 원 위의 한 점을 지정해야 하죠.물론 입력칸에 함수나 방정식을 넣어 곡선을 그릴 수도 있지만, 배경처럼 인식할 뿐인 것 같아요. 선택할 수 있는 대상이 아니죠. 좌표로 입력한 점은 대상으로 인식하지만요.https://www.desmos.com/geometry/si3lxhf84n Desmos | 기하학 www.desmos.com위의 링크는 원 위의 한 점을 기준으로 정오각형을 그린 거죠. 기하학 도구는 이런 작도가 가능해요.참고로 위의 작도 방법을 설명..

다음 그림과 같이 예각삼각형 ABC의 두 꼭짓점 A, B에서 각각의 대변에 그은 두 수선의 교점을 P라고 하자. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 4라고 할 때, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{P}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$의 값은?최근에 지식iN에 올라왔던 질문이에요. 보조선을 그릴만 한 곳이 바로 보이지는 않는 조금 까다로운 문제네요.제목에서 눈치채시겠지만 이 문제는 보조선으로 내접사각형을 그리면 되는 문제죠.위 그림처럼 선분 AP와 BP에 평행한 직선을 각각 점 B와 A를 지나도록 그리고, 그 교점을 Q라 할게요. 사각형 AQBP는 당연히 평행사변형이죠. 그리고 점 P가 수선의 교점이니 선분 AQ와 BQ는 각각 AC와 BC에 수직이에요.이제 사각형 AQBC를 살펴보면 그림의 원에 내접하는 사각형이라는 것을 알..

삼각형 ABC의 변 BC를 지름으로 하는 원과 나머지 두 변 AB와 AC가 만나는 점을 각각 P와 Q라 할 때, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{P}}$와 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{Q}}$의 교점을 H라 하고, 삼각형 HAB, HBC, HCA의 외심을 각각 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$라 하자. 이때, 점 H로부터 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$에 이르는 거리를 비교하시오.이 문제는 삼각형의 수심과 외심의 관계에 대해 묻는 문제예요. 사실 "삼각형의 외심은 그 중점삼각형의 수심이다"라는 정리만 알면 바로 풀리는 문제죠. 물론 바로라고 해도 보조선 하나 긋지 않고 말하긴 어렵지만요.위 문제의 그림은 desmos의 기하학 도구를 이용해 지식iN에 올라왔던 문제의 그림을 제가 직접 그린 거예요. 여기에 필요한 보조선을 추가해 보면 아래..

정오각형에서 나타나는 황금비는 잘 알려져 있죠? desmos 연습으로 이 황금비에 대해 살펴보죠.정오각형은 대각선 하나로 삼각형과 사각형으로 나뉘죠. 이때 삼각형은 이등변삼각형으로 꼭짓각이 $\frac{3\pi }{5}$=108˚, 밑각이 $\frac{\pi }{5}$=36˚예요. 한 꼭짓점을 공유하는 두 대각선에 대해 이런 이등변삼각형을 생각해 보면, 대각선이 정오각형의 내각을 정확히 삼등분한다는 걸 알 수 있죠.정오각형의 세 꼭짓점을 이어 만들 수 있는 삼각형은 모두 이등변삼각형 두 가지 중 하나로 나타나요. 하나는 위에서 말한 것과 같은 형태, 다른 하나는 한 변과 그 대각을 이어 만든 꼭짓각이 $\frac{\pi }{5}$인 경우죠. 그리고 각 삼각형들과 꼭짓점을 공유하는 다른 대각선으로 삼각형을 둘로 나눴을 때, 두 삼각..

원뿔 곡선은 3차원 공간의 원뿔면을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선이죠.원뿔면은 원뿔의 밑면을 제외한 나머지 옆면을 말하고 보통 원뿔의 꼭짓점 양쪽으로 끝없이 이어지는 형태로 생각해요. 예를 들면 $x^2+y^2=z^2$이 대표적인 원뿔면의 방정식이죠.좀 더 일반적으로 밑면이 타원인 타원뿔을 생각하기도 하지만 곡선의 종류는 변하지 않으니 위의 방정식 하나로 생각해도 충분해요.원뿔면은 직선을 회전시켜 만들 수 있으니 회전축이 존재하죠. 이 회전축과 평면이 이루는 각에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 곡선의 종류가 달라져요. 평면이 원뿔의 꼭짓점을 지나면 한 점이나 한 직선, 또는 두 직선이 되니 이 경우는 빼고 생각하죠.회전축과 수직인 평면으로 자르면 위 그림과 같이 원 circle이 생기죠. 위에서..