원뿔 곡선 conic curve

원뿔 곡선은 3차원 공간의 원뿔면을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선이죠.

원뿔면은 원뿔의 밑면을 제외한 나머지 옆면을 말하고 보통 원뿔의 꼭짓점 양쪽으로 끝없이 이어지는 형태로 생각해요. 예를 들면 $x^2+y^2=z^2$이 대표적인 원뿔면의 방정식이죠.

좀 더 일반적으로 밑면이 타원인 타원뿔을 생각하기도 하지만 곡선의 종류는 변하지 않으니 위의 방정식 하나로 생각해도 충분해요.

원뿔면은 직선을 회전시켜 만들 수 있으니 회전축이 존재하죠. 이 회전축과 평면이 이루는 각에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 곡선의 종류가 달라져요. 평면이 원뿔의 꼭짓점을 지나면 한 점이나 한 직선, 또는 두 직선이 되니 이 경우는 빼고 생각하죠.

원뿔면과 평면이 만나는 교선이 원인 경우

회전축과 수직인 평면으로 자르면 위 그림과 같이 원 circle이 생기죠. 위에서 소개한 원뿔면의 방정식을 사용하면 평면이 $xy$-평면과 평행하니 원의 방정식도 쉽게 나와요. 3차원 공간을 자르는 평면에 정사영 한다고 생각하면 교선의 방정식을 쉽게 구할 수 있죠.

원뿔면의 방정식이 $x^2+y^2=z^2$이라면 평면은 $z=c$로 그 교선을 평면에 정사영 하면 $x^2+y^2=c^2$이라는 원의 방정식을 얻을 수 있겠죠.

아직 곡선이 세 종류나 남아 있으니 각을 구분하는 기준이 필요해요. 위에서 말한 회전 해서 원뿔면을 만드는 직선, 즉, 원뿔의 모선을 기준으로 생각하면 돼요. 회전축이 평면과 이루는 각이 모선과 이루는 각보다 클 때와 같을 때 그리고 작을 때로 나누는 거죠.

원뿔면과 평면이 만나는 교선이 타원인 경우

회전축이 평면과 이루는 각이 모선과 이루는 각보다 크다면 교선은 타원 ellipse이 되죠. 이 경우 정사영 할 평면이 기울어져 있어 계산이 조금 복잡할 수 있지만 원의 경우와 마찬가지로 정사영을 통해 방정식을 구할 수 있어요.

위와 같은 원뿔면에서 회전축이 모선과 이루는 각이 $\frac{\pi }{4}$(45˚)이므로 자르는 평면의 방정식을 $ax+z=c$라 하면 타원이 되는 경우는 $0<|a|<1$이죠. 위 그림의 경우 $a=\frac{1}{2}$이고 $c<0$이에요.

정사영을 통해 평면과 수직인 직선 $(at,0,t)$는 원점이 되죠. 같은 방식으로 평면 위의 점 $(p,q,c-ap)$로 정사영되는 직선이 $(at+p,q,t+c-ap)$라는 것을 알 수 있어요. $y$축 위의 점 $(0,q,0)$은 정사영으로 평면 위의 점 $(\frac{ac}{1+a^2},q,\frac{c}{1+a^2})$가 되니까 이것과 $y=0$인 평면 위의 직선을 축으로 평면의 좌표를 줄 수 있죠. 즉, $(p,q,c-ap)$의 $y$좌표는 그대로 가져오고 다른 한 좌표는 $(\frac{ac}{1+a^2},q,\frac{c}{1-a^2})$와의 거리$$\sqrt{{(p-\frac{ac}{1+a^2})}^2+{(c-ap-\frac{c}{1+a^2})}^2}=|p-\frac{ac}{1+a^2}|\sqrt{1+a^2}$$로 표현하는 거죠. 물론 거리는 음수가 나오지 않으니 $x$좌표가 $y$축의 정사영보다 큰 경우에 양, 작은 경우는 음으로 주면$$(p\sqrt{1+a^2}-\frac{ac}{\sqrt{1+a^2}},q)$$가 되겠네요. 이 좌표를 $(w,y)$라 하면$$w=p\sqrt{1+a^2}-\frac{ac}{\sqrt{1+a^2}},p=\frac{w\sqrt{1+a^2}+ac}{1+a^2}$$라는 거죠.

이제 평면에서 교선의 방정식을 새로운 좌표로 확인해 보면, $p^2+q^2=(c-ap{)}^2$에서$${\left(\frac{w\sqrt{1+a^2}+ac}{1+a^2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{c-aw\sqrt{1+a^2}}{1+a^2}\right)}^2$$$$\left(\frac{(1+a)w\sqrt{1+a^2}-(1-a)c}{1+a^2}\right)\left(\frac{(1-a)w\sqrt{1+a^2}+(1+a)c}{1+a^2}\right)+y^2=0$$$$\frac{1-a^2}{1+a^2}{w}^2+\frac{4acw}{(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}-\frac{1-a^2}{{(1+a^2)}^2}c+y^2=0$$$$\frac{1-a^2}{1+a^2}{(w+\frac{2ac}{(1-a^2)\sqrt{1+a^2}})}^2+y^2=\frac{1-a^2}{{(1+a^2)}^2}c+\frac{4a^2{c}^2}{(1-a^2){(1+a^2)}^2}$$으로 좀 복잡하긴 하지만 $\frac{1-a^2}{1+a^2}$>0이니 이 방정식이 타원이 된다는 것을 알 수 있죠.

원뿔면과 평면이 만나는 교선이 포물선인 경우

회전축이 평면과 이루는 각이 모선과 이루는 각과 같다면 교선은 포물선 parabola이죠. 이 경우에도 타원과 비슷한 방식으로 방정식을 구할 수 있어요.

위의 타원과 같은 조건에서 $|a|=1$인 경우에 포물선이 되겠죠. $a=1$이라 하면 평면 위의 점은 $(p,q,c-p)$이고$$w=\sqrt{2}p-\frac{c}{\sqrt{2}},p=\frac{\sqrt{2}w+c}{2},$$$p^2+q^2=(c-p{)}^2$이니 $\sqrt{2}cw+y^2=0$라는 포물선의 방정식을 얻을 수 있죠.

원뿔면과 평면이 만나는 교선이 쌍곡선인 경우

마지막으로 회전축이 평면과 이루는 각이 모선과 이루는 각보다 작은 경우 교선은 쌍곡선 hyperbola이 되죠.

이 경우는 $|a|>1$이기에 타원과 동일한 계산이 되지만 $\frac{1-a^2}{1+a^2}$<0이니 쌍곡선의 방정식이에요.

결국 이 곡선들은 원뿔면과 평면의 방정식을 연립한 식으로 표현할 수 있고 평면에 정사영해도 그 방정식이 2차이기에 이차 곡선 quadratic curve이라고도 하죠.

일단 이 글에서는 원뿔 곡선에 대한 소개를 해봤네요. 각 곡선의 성질을 모두 설명하기엔 글이 너무 길어지겠죠? 이 내용은 나중에 다른 글로 소개하도록 할게요.

혹시 더 설명해줬으면 하는 내용이 있다면 말씀해 주세요. 내용을 추가하든지 새 글로 설명드릴 예정입니다.