수학하는 아저씨

가우스 적분과 오차 함수

확률과 통계에 대해 공부하다 보면 정규 분포라는 걸 자주 보게 되죠. 중심 극한 정리에 등장하는 아주 중요한 분포예요. 중심 극한 정리도 언젠가 기회가 되면 소개할 생각이지만, 기초가 되는 확률 이론들을 소개한 다음이 될 것 같네요.평균 mean이 $\mu$이고 표준 편차 standard deviation가 $\sigma$인 정규 분포 normal distribution는 연속 확률 변수 continuous random variable의 확률 분포 probability distribution로 그 확률 밀도 함수 probability density function가\[f(x)={1\over\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2\over2\sigma^2}\]으로 나타나죠. 특히 평균이 0..

$4444^{4444}$의 각 자릿수의 합을 $A$, $A$의 각 자릿수의 합을 $B$라 할 때, $B$의 각 자릿수의 합을 구하시오.주어진 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 수에 대해 다시 각 자릿수를 더하는 것을 계속 반복하면, 결국 1에서 9까지의 자연수 중 하나가 나오죠. 그럼 이 수는 어떤 수가 될까요?이건 9의 배수의 성질을 가지고 생각할 수 있는 문제예요.십진법으로 표현된 $n$자리 자연수는\[10^{n-1}d_{n-1}+10^{n-2}d_{n-2}+\cdots+10^0d_0\]이라고 표현할 수 있어요. 각 $10^k$의 자리가 $d_k$인 거죠. 각 자릿수의 합 $d_{n-1}+d_{n-2}+\cdots+d_0$를 비교하면 그 차가\[\overbrace{99\cdots9}^{n-2}d_{n..

$a_n=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대해\[a_{n+1}={1\over2+a_n}\]을 만족하는 수열 $a_n$의 일반항을 구하시오.비선형 점화식에 대한 일반적인 풀이는 알려져 있지 않아요. 수열을 변형해서 선형 점화식으로 만들어 푸는 게 보통이죠.문제의 주어진 점화식처럼 분모에 수열의 항이 있거나 여러 항의 곱이 나타나는 경우는 역수를 이용해서 선형 점화식으로 만들죠.\[\frac1{b_{n+1}}=\frac\alpha{b_n}+\beta\]와 같이 수열의 역수가 선형 점화식을 만족한다면\[b_{n+1}={b_n\over\alpha+\beta b_n}\]이라는 점화식을 얻을 수 있어요.위의 식에 맞춰 주어진 점화식을 변형해 보면\[p+a_{n+1}={1+2p+pa_n\over2+a_n}={\fra..

$S$는 곡면 $x^2+y^2+z^2=1,\quad x+y+z\ge1$이다. $F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)$일 때 $\abs{\iint_SF\cdot dS}$의 값은?사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제 생각엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면\[\abs{\iint_SF\cdot\eta dS}\]라고 쓸 수 있죠. 여기서 $\eta$는 곡면 $S$의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 $F$라는 힘이 작용할 때 $S$를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론..

오늘은 적분의 정의를 이용해 극좌표계나 구면좌표계로 치환적분을 할 때 나타나는 식이 왜 그런 형태인지 생각해 볼까 해요.함수의 적분을 처음 배울 때 $x$축과 함수의 그래프 사이의 넓이를 구하기 위해 적분 구간을 잘게 나눠 직사각형의 넓이로 근사해 구하는 식을 배우게 되죠.\[\int_a^bf(x)\red{dx}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf\p{a+k\frac{b-a}n}\red{b-a\over n}.\]위 식에서 빨강으로 표시된 부분이 잘게 나눈 구간의 너비로 직사각형의 가로라고 생각하면 세로에 해당하는 함숫값을 곱해 넓이가 되는 거죠.사실 이 정도는 적분을 배운 사람이라면 누구나 본 적이 있는 내용일 거예요. 하지만 이 내용이 꼭 직사각형으로만 계산해야 하는 것은 아니에요...

오랜만에 desmos 실습이네요. 이번엔 삼각형의 오심인 무게중심, 내심, 외심, 수심, 방심을 작도해 볼게요.비교적 쉬운 내용이니 각 단계를 자세히 설명하면서 desmos의 기하학 도구를 사용하는 법을 설명할까 해요.먼저 기하학 도구에 들어가서 삼각형을 그려줘야겠죠.https://www.desmos.com/geometry/0ifmo7rbni Desmos | 기하학 www.desmos.com평면 위에 아무 점이나 찍어 다각형 도구를 이용해 삼각형을 그려줬어요. 별다를 것 없는 삼각형이죠. 각 꼭짓점은 이동할 수 있으니 원하는 모양의 삼각형으로 조정도 가능해요. 따라 하실 분은 링크로 들어가서 삼각형을 그대로 쓰셔도 되고, 직접 그리셔도 상관없겠죠.먼저 무게중심 centroid은 세 중선의 교점이니 각 꼭..

삼차방정식의 근의 공식을 외우고 있는 분은 별로 없겠죠. 일단 식이 너무 복잡하니까요. 그래도 관심이 있는 분이라면 한 번쯤은 본 적이 있겠죠. 오늘은 이 삼차방정식의 근의 공식을 삼각함수를 이용해 조금 간단하게 나타내 보려고 해요.$x^3+ax^2+bx+c=0$이라는 인수분해 불가능한 유리계수 삼차방정식을 생각해 볼게요. 삼차항의 계수는 0이 아닐 테니 나눠줬다고 생각하면 되죠. 먼저 식을 간단히 하기 위해 최고차항을 제외한 나머지 중 하나를 0으로 만들 방법을 생각해 볼게요.근과 계수와의 관계를 생각하면 세 근의 합이 $-a$, 곱이 $-c$라는 걸 알 수 있죠. 인수분해가 불가능하니 $c\ne0$이에요. 0이라면 $x$를 인수로 가지죠.삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$의 그래프는 $x$..

쌍곡선 hyperbola의 방정식 $x^2-y^2=1$을 매개변수 방정식으로 나타내면 어떻게 될까요? 원의 방정식 $x^2+y^2=1$은 보통 $x=\cos t$와 $y=\sin t$로 매개변수 방정식을 표현하죠. 그래서 삼각함수 trigonometric function를 원함수 circular function라고도 해요.쌍곡선의 매개변수 방정식은 $\p{t+\frac1t}^2-\p{t-\frac1t}^2=4$를 이용해 정의할 수 있어요. $x={t+\frac1t\over2},\quad y={t-\frac1t\over2}$라 하면 쌍곡선의 방정식을 만족하죠. 하지만 이 함수들은 삼각함수와 달리 미분하면 특징이 사라져요. 그래서 미분을 해도, 역수를 취해도 특징이 대부분 유지되는 지수함수를 가져와서 다시 ..

2의 거듭제곱이 아닌 자연수를 둘 이상의 연속하는 자연수의 합으로 나타내기 위한 일반적인 방법을 찾고 설명하시오.중학교 2학년인 학생분이 올린 질문이에요. 발상이 어렵지는 않지만, 풀이의 설명이 이해하기 힘들었던 것 같아요.2의 거듭제곱은 음이 아닌 정수 $k$에 대해 $2^k$를 말하죠. 1, 2, 4, 8 등의 수예요.어떤 자연수가 2의 거듭제곱이 아니기 위해서는 그 소인수분해에 2가 아닌 소인수, 즉, 홀수인 소인수가 있어야 하죠. 소인수분해에서 2의 거듭제곱인 부분을 제외한 나머지는 홀수의 곱 만으로 나타나니 홀수가 되고, 3 이상의 자연수들의 곱이니 자연수 $m$에 대해 $2m+1$로 쓸 수 있어요.즉, 2의 거듭제곱이 아닌 자연수는 $2^k(2m+1)$로 나타낼 수 있죠. 이 수를 어떤 자연수..

수학에 흥미가 있으신 분은 제목에 있는 식을 본 적이 있을 거예요. 흔히 오일러 공식 Euler's formula이라고 하지만, 정확히는 그중에서도 각이 $\pi$인 특수한 경우죠. 정확한 공식은\[e^{i\th}=\cos\th+i\sin\th\]예요. 이 공식을 제대로 이해하기 위해서는 테일러 정리 Taylor's theorem 등의 대학교 과정의 지식이 필요하죠. 적어도 미분에 대해 전혀 지식이 없다면 이해하기 힘든 내용이에요.하지만 $e$나 $\pi$라는 무리수와 $i$라는 허수로 만든 수에 1을 더하니 0이라는 사실은 굉장히 신기하고 재밌죠. 원래의 공식을 살펴보더라도 양변을 $\th$로 미분했을 때 어떤지 살펴보면 상당히 재밌어요.\[{d\over d\th}e^{i\th}=ie^{i\th},\q..