수학하는 아저씨

삼각형 $ABC$는 $\ls{AB}3번 차례인데 4번을 먼저 가져왔네요. 사실 3번의 풀이가 꽤 복잡해서 쉽게 정리하기가 어려워요. 최근 글을 올리지 못했던 것도 있어서 일단 좀 더 쉽게 정리할 수 있는 4번을 먼저 가져왔어요. 문제의 조건대로 그림을 그려보면 위와 같이 표현할 수 있죠.위 그림처럼 점 이름을 추가했을 때, 사각형 $AQRS$는 마름모예요. 문제의 조건에 의해 평행사변형이라는 건 쉽게 알 수 있고, 내접원과의 접점으로 나뉘는 각 변의 길이를 생각했을 때 네 변의 길이가 같다는 걸 알 수 있죠.내심 $I$는 선분 $AR$의 중점이니 삼각형의 닮음을 이용하면 $\angle CRB=\angle KIL$이라는 걸 알 수 있어요. $\angle BYR+\angle CYR=180^\circ$이고 평..

$f(x)=\sin^{-1}x$의 매클로린 급수를 이용해\[\pi=3\sum_{n=0}^\infty{(2n)!\over(n!)^22^{4n}(2n+1)}\]임을 보이시오.arcsin 함수의 매클로린 급수는 직접 구하기엔 상당히 까다로운 편이죠. 하지만 arctan 함수의 경우와 비교하면 조금 더 복잡하긴 해도 같은 방법을 쓸 수 있다는 걸 알 수 있어요.테일러 급수 또는 매클로린 급수는 주어진 무한히 미분가능한 함수를 '다항식처럼' 표현하는 것으로 미분과 적분이 쉽고, 원래의 함수로 되돌아가는 것도 어렵지 않죠. arctan 함수의 도함수는 $1\over1+x^2$으로 $|x|arcsin 함수도 마찬가지로 도함수의 매클로린 급수를 구하면 돼요. 이 도함수는 $1\over\sqrt{1-x^2}$으로 바로 ..

오늘 소개할 내용은 함수의 정의와 경우의 수를 모두 배웠다면 한 번쯤 본 적이 있는 내용일 거예요. 바로 여러 가지 조건과 함께 두 유한 집합 사이에 정의할 수 있는 함수의 개수를 찾는 문제죠.먼저 집합의 정의에 대해 배웠다면 일반적인 함수의 정의도 바로 배웠을 거예요. 수학은 집합과 함수로 모든 걸 설명하죠. 주어진 두 집합에 대해 한 집합의 원소마다 나머지 한 집합의 원소 하나를 대응시키는 게 바로 함수예요. 이 두 집합을 순서대로 $X$와 $Y$, 함수를 $f$라고 했을 때 $f:X\to Y$라고 쓰고, $X$를 정의역 domain, $Y$를 공역 codomain이라고 하죠. 각 $x\in X$에 대응하는 공역의 원소를 $x$에 대한 함숫값이라고 하고 $f(x)$라고 표현해요. 정의역의 원소마다 공..

다음 조건을 만족하는 양의 정수 $g$와 $N$이 존재하는 양의 정수 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.(조건) 모든 정수 $n\ge N$에 대해 $\gcd(a^n+b,b^n+a)=g$이다.(단, $\gcd(x,y)$는 두 정수 $x,y$의 최대공약수이다.)$(a,b)$가 조건을 만족할 때, 수열 $x_n=\gcd(a^n+b,b^n+a)$를 생각해 보죠. $a$와 $b$에 동시에 서로소인 $ab+1$에 대해 $\ph(ab+1)|n$이라면 $a^n\equiv b^n\equiv1\pmod{ab+1}$이 성립해요. ($\ph(m)$은 양의 정수 $m$에 대해 그보다 작은 서로소 개수를 의미해요.) 이 내용이 유명한 오일러의 정리 Euler's theorem죠. 자세한 증명은 나중에 기회가 있으면 다루기로 ..

직각삼각형 ABC의 넓이가 $15\over2$이고 내접원의 반지름이 1일 때, 세 방접원의 반지름을 모두 구하시오.먼저 세 내각의 크기관계를 $\rm\angle A내심 I에서 각 꼭짓점에 그은 선분과 각 변에 내린 수선으로 여섯 개의 직각삼각형을 만들면 빗변을 공유하는 것들끼리 합동이 되죠. 이 수선의 발을 마주 보는 꼭짓점에 맞춰 $\rm T_A,T_B,T_C$라고 하면 사각형 $\rm IT_ACT_B$는 정사각형이에요.위 사실을 이용하면 $c=(a-1)+(b-1)=a+b-2$가 되죠. 여기에 피타고라스 정리를 이용하고 $b=\frac{15}a$를 대입하면\[\eqalign{(a+\frac{15}a-2)^2&=&a^2+{225\over a^2}\\4+30-\frac{60}a-4a&=&0\\2a^2-17..

평행사변형 ABCD에서 $\rm\ls{AB}=3cm,\quad\ls{BC}=6cm$이고, 점 D에서 변 AB의 연장선에 내린 수선의 발을 E라 하자. $\rm\ls{BC},\quad\ls{AD}$의 중점이 각각 M, N이고 ∠BEM = 25˚일 때, ∠EMC의 크기를 구하시오.지식iN 질문에 올라온 그림에는 왜곡이 있기도 해서 특징이 잘 보이지 않을 수도 있지만, 원주각의 성질을 이용하면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제예요.삼각형 ADE는 직각삼각형으로 그 외심이 빗변 AD의 중점이 되죠. 즉, 이 빗변이 외접원의 지름이 되고 평행사변형 ABCD의 한 변이니 그 길이가 선분 BC와 같은 6cm예요. 사각형 ABMN 역시 평행사변형으로 변 MN의 길이가 AB와 같은 3cm이기에 점 M은 이 원 위의 점이죠...

다음 조건을 만족하는 실수 $\alpha$를 모두 찾아라.(조건) 모든 양의 정수 $n$에 대해 정수\[\flr\alpha+\flr{2\alpha}+\cdots+\flr{n\alpha}\]가 $n$의 배수이다.(단, $\flr z$는 $z$를 넘지 않는 가장 큰 정수이다. 예를 들어, $\flr{-\pi}=-4,\quad\flr{2.9}=2$이다.)https://www.imo-official.org/ International Mathematical Olympiadwww.imo-official.org위의 링크는 국제 수학 올림피아드에 대해 안내하는 공식 홈페이지예요. 공식이라기엔 초라해 보이긴 하지만, 뭐 화려한 게 중요한 건 아니죠.지식iN에서 질문받았던 내용 중에 올림피아드 출제 문제도 있었던 것 같아..

방정식 $x^2+y^2=1$로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 $\th$에 대해 $(\cos\th,\sin\th)$가 되죠.이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 $\th$로 나..

다음 조건을 만족하는 자연수 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$의 모든 순서쌍 $\p{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6}$의 개수를 구하시오.(가) $1\le a_1(나) $\sum_{n=1}^6(-1)^na_n=5$(나)의 항들을 순서대로 둘씩 묶어서 생각하면 $\p{a_2-a_1}+\p{a_4-a_3}+\p{a_6-a_5}=5$가 되죠. (가)의 부등호에 따라 $k=1,2,3$에 대해 $a_{2k}-a_{2k-1}>0$이고, 이들의 합이 5라는 사실로부터, 둘은 1이고 남은 하나는 3이거나 하나는 1이고 나머지는 2여야 해요. 순서에 따라 총 6가지의 경우가 생기죠.$a_n$이 순서에 따라 크기가 커진다는 사실을 이용해, $m=1,2,3,4,5$에 대해 $d_{m+1}=a_{m+1..

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 ..