수학하는 아저씨

두 실수 $a>0$와 $b$에 대해 함수$$\text{Missing end{cases}}$$가 성립하죠. $f(2)f(-2)=b-4$로 두 점에서 함숫값도 같으니 $f(x)f(-x)$는 두 점에서 동시에 연..

대부분의 중/고등학생들은 수학 공부를 혼자 하는 경우가 많은 것 같아요. 그렇다면 혼자 하는 것이 누군가와 함께 하는 것보다 더 좋을까요? 저는 아니라고 생각해요.쉬운 내용이라면 혼자 연습하고 문제를 풀어도 상관없겠지만, 어려운 문제일수록 다른 사람의 풀이를 참고하는 것이 도움이 되죠. 물론 풀이를 자세히 적는 사람이 드물기에 서로 설명하고 듣는 형태가 많을 거예요. 저는 풀이를 자세히 적는 것에 익숙해지는 쪽을 추천하지만요.어려운 내용일수록 사람들이 접근하는 방식이 다양하죠. 수학도 마찬가지예요. 잘 이해가 되지 않던 내용도 새로운 시각을 가지면 이해가 되는 일이 많죠.이런 이야기를 들으면 더 잘하는 사람이 손해를 보는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 할 거예요. 그런데 제 경험으로는, 잘하는 쪽이 이득..

어렵지만 해야 하는 수학, 어떻게 공부해야 '제대로' 할 수 있을까요?이전 글에서 제가 했던 표현을 다시 가져와야겠네요."예외 없는 진리가 통하는 이상적인 세계를 그리는 언어"네, 수학은 언어예요. 수식은 길고 복잡한 문장을 간단한 기호로 짧게 적은 것이죠.언어를 익히려면 어떻게 해야 할까요? 일단 어휘를 먼저 알아야겠죠. 수식에 사용하는 여러 기호들의 의미를 알아야 하고, 여러 가지 수학용어의 정의를 이해해야 하죠.중학교에서 배우는 인수분해라던가 고등학교에서 배우는 미분 등 여러 가지 이론을 배우며 상당수의 학생들은 그 의미를 이해하지 못한 채, 공식만 외우는 경우가 있죠. 예를 들어 인수분해의 의미와 원리를 이해한다면 29×31=899와 같은 계산은 1초도 걸리지 않는 게 당연하죠. $57^2=324..

아무리 피하려고 해도 고등학교까지는 수학을 공부할 수밖에 없죠. 그렇다면 왜 하는 걸까요?누군가는 수학을 배워도 일상생활에 쓸 일이 없다고 말하지만, 다른 과목은 어떤가요? 일상생활에 직접 쓰일까요? 어떤 과목이든 자신의 전문분야가 되지 않는 이상, 직접 쓰일 일은 별로 없죠. 하지만 어떤 과목이라도 간접적으로는 얼마든지 쓰게 되죠.수학은 어떻게 쓰일까요? 저는 수학을 배우는 이유가 그 진리성에 있다고 생각해요. 수학은 언제나 연역적인 논리전개만을 이용해 진리를 말하죠. '수학적 귀납법'이란 용어가 있을 정도니까요. 수학을 제대로 공부한다면 이런 연역적인 논리전개를 잘 활용할 수 있게 되죠. 달리 말하면 '오류 없는 논리'에 익숙해진다는 것이죠. 이런 힘은 어딘가에 의견을 말할 때 설득력을 높여주고 잘못..

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다.(가) $x\le 3$에서 $f(x)=x\cdot 2^{x-1}$이다.(나) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(6-x)$이다.실수 $t(0이문제는상당히까다로워보이지만,치환적분과정에서관계식을조금고민하면쉽게풀리는문제죠.먼저주어진함수에대해살펴보면,(나)에서그그래프가$x=3$에대칭이라는걸알수있어요.알아보기쉽게고친다면$x=3+p$로바꿨을때$f(3+p)=f(3-p)$가되죠.즉,$t=f(s),\quad s이제 적분을 살펴보죠. 주어진 상태로 계산이 어려우니 $t^2=x,2tdt=dx$를 이용해 치환하는 게 좋겠네요.\[I=\int_1^{16}l'\p{\sqrt x}dx=\int_1^42tl'(t)dt.\..

극한$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)}^{\frac{1}{n}}$$을 구하시오.얼마 전에 지식iN에서 답변한 문제예요. 확실히 풀기 어렵게 만들어 놓은 까다로운 문제죠.물론 이 글의 제목을 보시면 풀이를 예측하실 수 있는 분도 계실 거예요. 이 문제는 로그함수를 이용해서 풀면 쉬워지죠.먼저 $n\to \mathrm{\infty }$에서 $n$을 양의 정수로 제한해도 문제 없다는 걸 알 수 있어요. 그보다 극한 내부에 있는 함수가 보통 양의 정수에서만 정의하는 함수이기도 하죠. $\ln x$의 정의역에 양의 정수가 포함되니, 이 두 함수를 합성해 새로운 함수를 생각하는 거예요.굳이 로그함수를 쓰는 이유는, 식을 간단히 하기 위한 거죠. 극한 내부의 함수가 곱셈을 기본으로 한 연산인 팩토리얼과 거듭제곱..

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3{)}^2+(y+3{)}^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B..

세 점 A$(-4,2\sqrt{5})$, B$(4,-2\sqrt{5})$, C$(8,3\sqrt{5})$에 대해 두 점 P, Q가 다음 조건을 모두 만족한다.(가) 직선 AP의 기울기와 직선 BP의 기울기의 곱은 -1이다.(나) 점 Q는 선분 BP의 중점이다.선분 CQ의 길이의 최댓값은?(가)에서 말하는 기울기의 곱이 -1이라는 건 두 직선이 수직이라는 말이죠. 즉, 삼각형 ABP는 각 P가 직각인 직각삼각형이라는 걸 알 수 있어요. 원주각과 중심각의 관계에 의해 이 삼각형의 외접원은 선분 AB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있죠.위 그림과 같이 외접원은 원점 O를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 되겠네요. 여기서 삼각형 OBQ가 ABP와 닮음이니 점 P가 원 위의 점인 것처럼, Q도 $\p{2,-\sqr..

확률과 통계에 대해 공부하다 보면 정규 분포라는 걸 자주 보게 되죠. 중심 극한 정리에 등장하는 아주 중요한 분포예요. 중심 극한 정리도 언젠가 기회가 되면 소개할 생각이지만, 기초가 되는 확률 이론들을 소개한 다음이 될 것 같네요.평균 mean이 $\mu$이고 표준 편차 standard deviation가 $\sigma$인 정규 분포 normal distribution는 연속 확률 변수 continuous random variable의 확률 분포 probability distribution로 그 확률 밀도 함수 probability density function가$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$으로 나타나죠. 특히 평균이 0..

${4444}^{4444}$의 각 자릿수의 합을 $A$, $A$의 각 자릿수의 합을 $B$라 할 때, $B$의 각 자릿수의 합을 구하시오.주어진 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 수에 대해 다시 각 자릿수를 더하는 것을 계속 반복하면, 결국 1에서 9까지의 자연수 중 하나가 나오죠. 그럼 이 수는 어떤 수가 될까요?이건 9의 배수의 성질을 가지고 생각할 수 있는 문제예요.십진법으로 표현된 $n$자리 자연수는$${10}^{n-1}{d}_{n-1}+{10}^{n-2}{d}_{n-2}+\cdots +{10}^0{d}_0$$이라고 표현할 수 있어요. 각 ${10}^k$의 자리가 $d_k$인 거죠. 각 자릿수의 합 $d_{n-1}+d_{n-2}+\cdots +d_0$를 비교하면 그 차가\[\overbrace{99\cdots9}^{n-2}d_{n..