수학하는 아저씨

함수 $f(x)={ln|x|\over x^n}$($n$은 자연수)와 양수 $t$에 대해 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\p{t,f(t)}$에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$라 할 때, 0이 아닌 모든 실수에서 함수 $|f(x)-g(x)|$가 미분가능하게 하는 $t$의 최댓값 $\alpha_n$을 구하시오.$f(x)-g(x)$는 0이 아닌 모든 실수에서 미분가능이므로 $|f(x)-g(x)|$가 $a$에서 미분불가능이라면 $f(a)-g(a)=0$이고 $f'(a)-g'(a)\ne0$이죠. 즉, 0이 아닌 모든 실수에서 $|f(x)-g(x)|$가 미분가능이려면 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 교점이 모두 접점이어야 해요.$f'(x)={1-n\ln|x|\over x^{n+1}}$이고\[f''(x)=-{n..

요즘 GeoGebra 연습을 한창 하고 있었어요. 그러다 또 유명한 시각화 도구가 있다는 걸 알게 됐죠. 바로 desmos예요.뭐 사실 GeoGebra와 큰 차이는 없는 것 같지만, 서로 장단이 있더라구요.일단 GeoGebra는 desmos에 비해 사용하기 편해요. 자동완성 기능이 있고 도구 탭에서 여러 기능을 찾기 쉽죠. 그런데 이런 점은 저에겐 큰 장점이 아니었거든요. 여러 내용을 작성하려다 보면 도구 탭을 전환하는 것도 귀찮고, 한국어 설정으로 작성하면 자동완성 기능도 한글로 안내되고 한/영 전환을 해가면서 쓰는 게 불편하기도 하죠.desmos는 GeoGebra에 비해 빠르고 글에 삽입하기 더 편해요. 위의 그림은 워터마크로 표시되어 있는 것처럼 desmos로 그리고 가져온 거죠. GeoGebra의..

GeoGebra를 연습 중에 질문받은 내용을 이미지로 만들어봤어요. 앞으로 종종 이렇게 문제 풀이도 올려보도록 할게요.그림과 같이 길이가 6인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 위의 두 점 C와 D에 대해 $\ls{\rm BC}=\ls{\rm CD}=2$일 때, 사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.원주각의 성질을 이용해 합동인 직각삼각형을 찾고 이등변삼각형의 닮음을 이용해 넓이를 계산할게요.위 그림처럼 직선 AD와 BC의 교점을 E라 하면 각 ACB가 반원의 원주각이니 $\frac\pi2$=90°이고 호 BC와 CD의 길이가 같으니 원주각인 각 BAC와 EAC가 같죠. 즉, 직각삼각형 ABC와 AEC는 ASA합동이에요.$\ls{\rm AE}=\ls{\rm AB}=6$이고 $\ls{\rm BC}=\ls{..

어렵지만 해야 하는 수학, 어떻게 공부해야 '제대로' 할 수 있을까요?이전 글에서 제가 했던 표현을 다시 가져와야겠네요."예외 없는 진리가 통하는 이상적인 세계를 그리는 언어"네, 수학은 언어예요. 수식은 길고 복잡한 문장을 간단한 기호로 짧게 적은 것이죠.언어를 익히려면 어떻게 해야 할까요? 일단 어휘를 먼저 알아야겠죠. 수식에 사용하는 여러 기호들의 의미를 알아야 하고, 여러 가지 수학용어의 정의를 이해해야 하죠.중학교에서 배우는 인수분해라던가 고등학교에서 배우는 미분 등 여러 가지 이론을 배우며 상당수의 학생들은 그 의미를 이해하지 못한 채, 공식만 외우는 경우가 있죠. 예를 들어 인수분해의 의미와 원리를 이해한다면 29×31=899와 같은 계산은 1초도 걸리지 않는 게 당연하죠. $57^2=324..

혹시 댓글로 질문을 올리고 싶은 분은 수식을 입력할 수 있다면 좋겠죠? 물론 사진으로 올려주셔도 되지만, 손글씨는 알아보기 힘든 경우도 있고, 특히 문제 풀이과정 같은 경우는 지저분해서 알아보기 힘든 경우가 많죠.다른 블로그에서도 종종 쓰는 듯하던데, 여기서도 MathJax라는 오픈소스를 사용하고 있어요. 이공학 논문 작성에 많이 사용되는 $\TeX$의 명령어를 이용해 수식을 작성할 수 있죠. MathML이나 AsciiMath를 이용한 방법도 있다고 하는데, 저는 사용해 본 적이 없어서 잘 모르겠네요.사용법은 간단하지만 명령어가 많아 좀 어려울지도 모르겠네요.수식 입력 방법은 두 가지죠. 하나는 글 안에 표현하는 법, 다른 하나는 다음 줄에 수식만 표현하는 법이에요.글 안에 수식을 넣으려면 '$\$$'과..

수학은 어렵죠. 사실 그럴 수밖에 없어요.수학을 간단하게 정의하는 많은 표현이 있겠지만, 저는 이렇게 표현하고 싶네요."예외 없는 진리가 통하는 이상적인 세계를 그리는 언어"누가 봐도 어려울 것 같은 표현이죠? 그래도 꽤 멋있지 않나요?세상에는 재미있는 것들이 너무 많죠. 그런데 그 재미있는 것들은 과연 쉬울까요?친구와 가위바위보를 한다면, 재미있을까요? 처음 배워서 원리를 파악하는 정도라면 재미있을 수도 있겠지만 어떤 목적도 없이 그저 가위바위보만 하는 건 그다지 재미있을 것 같지 않네요.물론 가위바위보는 승패를 나누는 좋은 수단이지만, 대부분의 경우에는 승부를 가를 다른 방법이 딱히 생각나지 않을 때 마지막으로 선택하는 수단이죠. 다른 수단이 있다면 굳이 가위바위보를 하지는 않죠. 그 이유가 뭘까요?..

수학하는 아저씨예요. 이상한 아저씨지만 따라오라고 하진 않을 테니 걱정 마세요.저는 수년간 지식iN 활동을 했어요. 앞으로도 계속 활동은 할 생각이지만 비슷한 질문이 올라오면 아무래도 똑같은 답을 하기는 지치더라구요. 그래서 질문이 많은 내용들을 블로그에 정리를 해볼 생각이에요.나름대로 오래 공부하기도 했고, 수학 실력은 꽤 자신 있거든요. 특히 어렸을 때 친구들을 시작으로 지금은 학생들을 대상으로 가르치는 것도 나름 익숙하다고 생각해요.사실 이전에도 수학을 주제로 블로그를 시작해 보긴 했지만 새 글에 대한 주제를 고민하다 보면 글 수가 늘어나질 않더라구요. 그래서 그나마 사람들이 많이 찾아볼 것 같은 내용들로 구성하기 위해 질문받은 내용들로 만들어보려구요.더보기다시 블로그를 하려는 이유 중에 하나는 표..

아무리 피하려고 해도 고등학교까지는 수학을 공부할 수밖에 없죠. 그렇다면 왜 하는 걸까요?누군가는 수학을 배워도 일상생활에 쓸 일이 없다고 말하지만, 다른 과목은 어떤가요? 일상생활에 직접 쓰일까요? 어떤 과목이든 자신의 전문분야가 되지 않는 이상, 직접 쓰일 일은 별로 없죠. 하지만 어떤 과목이라도 간접적으로는 얼마든지 쓰게 되죠.수학은 어떻게 쓰일까요? 저는 수학을 배우는 이유가 그 진리성에 있다고 생각해요. 수학은 언제나 연역적인 논리전개만을 이용해 진리를 말하죠. '수학적 귀납법'이란 용어가 있을 정도니까요. 수학을 제대로 공부한다면 이런 연역적인 논리전개를 잘 활용할 수 있게 되죠. 달리 말하면 '오류 없는 논리'에 익숙해진다는 것이죠. 이런 힘은 어딘가에 의견을 말할 때 설득력을 높여주고 잘못..

원뿔 곡선은 3차원 공간의 원뿔면을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선이죠.원뿔면은 원뿔의 밑면을 제외한 나머지 옆면을 말하고 보통 원뿔의 꼭짓점 양쪽으로 끝없이 이어지는 형태로 생각해요. 예를 들면 $x^2+y^2=z^2$이 대표적인 원뿔면의 방정식이죠.좀 더 일반적으로 밑면이 타원인 타원뿔을 생각하기도 하지만 곡선의 종류는 변하지 않으니 위의 방정식 하나로 생각해도 충분해요.원뿔면은 직선을 회전시켜 만들 수 있으니 회전축이 존재하죠. 이 회전축과 평면이 이루는 각에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 곡선의 종류가 달라져요. 평면이 원뿔의 꼭짓점을 지나면 한 점이나 한 직선, 또는 두 직선이 되니 이 경우는 빼고 생각하죠.회전축과 수직인 평면으로 자르면 위 그림과 같이 원 circle이 생기죠. 위에서..

대학교에서 수학전공을 하지 않는다면 접할 일이 거의 없는 분야 중 하나가 위상수학이죠. 특히 전공자들도 어려워하는 분야기도 하구요.위상수학은 연속함수 continuous function를 다루는 학문이에요. 물론 흔히 알고 있는 실수의 부분집합을 정의역과 치역으로 하는 연속함수가 아니라 이걸 일반화한 것이죠. 위상수학을 처음 배울 때 이 점을 놓쳐 어려워하는 사람이 많다고 생각해요.연속함수를 일반적인 집합에서 정의하려면 어떤 것이 필요할까요? 우선 실수에서 연속을 어떻게 정의하는지 생각해 봐야겠죠.$(a,b)=\{x\in\R:a0$에 대해서도 다음을 만족하는 $\delta>0$가 존재한다는 거죠.\[|x-p|위의 조건을 집합으로 바꾸면 어떨까요?\[x\in(p-\delta,p+\delta)\implies..