[desmos] 곡선을 그려보자. - 하이포사이클로이드

에피사이클로이드를 소개하면서 함께 설명했던 것처럼, 하이포사이클로이드는 고정된 원을 따라 그 내부에서 굴러가는 원 위의 한 점이 지나는 궤적을 말해요.

위의 곡선은 하이포사이클로이드 중 하나인 델토이드 deltoid예요. 보시다시피 굴러가는 원이 고정된 원의 $\frac{1}{3}$이죠. 물론 이 곡선도 에피사이클로이드처럼 두 원의 비에 따라 곡선이 달라지죠. 하지만 지난 글에도 이야기한 것처럼 그릴 때 고려할 점이 많이 달라요.

먼저 고정된 원 내부에 생기는 곡선이니 지난번처럼 표현하는 영역을 신경 쓸 필요가 없어요. 대신 굴러가는 원이 내부에 들어가려면 더 작아야 하죠. 또한 에피사이클로이드와 다르게 같은 비가 아니라도 같은 곡선이 나오기도 해요. 물론 비가 무리수가 되면 곡선이 같은 궤적을 반복하지 않는다는 점은 같죠.

이번에도 위 그림의 링크로 들어가면 재생 중이 아닌 두 슬라이드를 조정해서 다른 하이포사이클로이드를 확인할 수 있어요. 고정된 원의 반지름이 1이고 굴러가는 원의 반지름이 1보다 작은 유리수인 경우로, 분모 $s$는 3에서 8까지, 분자 $p$는 1에서 $\lfloor \frac{s-1}{2}\rfloor$까지의 정수로 줄 수 있죠. $\lfloor \cdot \rfloor$는 흔히 가우스 기호라고 부르는 것과 같은 연산으로 floor라고 해요. 주어진 실수보다 작거나 같은 최대의 정수를 가져오는 함수죠.

$p$의 범위를 반으로 나눈 이유는 위에서 설명한 것처럼 같은 곡선이 나오기 때문이에요. 슬라이더의 상한을 $s-1$로 바꾸고 (반지름이 1보다 작아야 하니까요.)  슬라이더를 조정해 보면 $p=k$인 경우와 $p=s-k$인 경우가 같은 곡선이 나온다는 걸 알 수 있죠.

하이포사이클로이드의 매개변수 방정식은 에피사이클로이드와 비슷하게 생겼어요. 위의 반지름을 적용시켜 표현해 보면$$x=(1-\frac{p}{s})\cos t+\frac{p}{s}\cos \left(\frac{p-s}{p}t\right),y=(1-\frac{p}{s})\sin t+\frac{p}{s}\sin \left(\frac{p-s}{p}t\right)$$가 되죠. 일반적인 하이포사이클로이드의 매개변수 방정식과 조금 다를 수 있는데, 그 점은 직접 찾아보시면 좋겠네요.

이번 곡선도 복소수 표현을 이용해서 본문에 적은 식과는 조금 다르지만, 위의 식을 참고하면 직접 만드는 것도 가능하실 거예요.