[desmos] 곡선을 그려보자. - 에피사이클로이드

지난번에 그려봤던 사이클로이드는 직선 위를 굴러가는 원으로 만들었죠. 에피사이클로이드 epicycloid와 하이포사이클로이드 hypocycloid는 직선이 아니라 원 위를 굴러가는 원으로 만들어요.

평면에서 원 위를 다른 원이 굴러가려면, 내부와 외부의 경우로 나뉘죠. 외부에서 굴러가며 만들어지는 곡선을 에피사이클로이드, 내부의 경우 하이포사이클로이드라고 해요.

위의 곡선이 에피사이클로이드 중 하나인 심장형 곡선, 카디오이드 cardioid예요. 기준이 되는 고정된 원(기초원)과 굴러가는 원(구름원 epicycle)의 반지름이 같은 경우죠. 에피사이클로이드는 두 원의 반지름 길이 비에 따라 모양이 달라져요. 기초원의 반지름 길이가 구름원의 유리수 $\frac{p}{q}$ ($p$와 $q$는 서로소인 양의 정수) 배라면 곡선이 기초원 주위를 $q$바퀴 회전해서 제자리로 돌아와 같은 움직임을 계속하지만, 무리수 배라면 겹치는 부분은 있어도 기초원 위의 점에서는 만나지 않아서 같은 궤적이 반복되지 않아요. 원이 굴러가며 닿았던 호의 길이를 이동거리로 생각하면 알 수 있죠.

위의 그림은 사실 카디오이드만 나타낸 그림이 아니에요. 그림의 링크로 들어가면 슬라이더로 두 원의 길이 비를 바꿀 수 있죠. 분자는 1에서 6까지, 분모는 1에서 5까지의 정수로 줄 수 있어요. GeoGebra에서도 그랬지만, 슬라이더 변수가 정수 값만 가지게 하려면 범위와 간격을 모두 정수로 주면 되죠.

기초원이 원점을 중심으로 하고 반지름 길이가 $R$일 때, 구름원의 반지름 길이가 $r$이면 에피사이클로이드는 매개변수 방정식$$x=(R+r)\cos t-r\cos \left(\frac{R+r}{r}t\right),y=(R+r)\sin t-r\sin \left(\frac{R+r}{r}t\right)$$로 표현할 수 있어요. 각 변수를 나타낸 식의 앞의 항은 구름원의 중심을 나타내고, 뒤의 항은 그 원에서 곡선을 그리는 한 점의 위치를 표현하죠.

저는 그림이 반지름 길이가 1인 원 안에 모두 나타나게 하고싶어서  기초원의 반지름에 구름원의 지름을 더한 길이가 1이 되도록 정했어요. 그래서 두 원의 비를 바꿔도 확대나 축소를 할 필요가 없죠.

나머지는 위치에 맞게 원과 선분을 그리고 위의 식을 정해지지 않은 변수에 대한 함수로 정의해서 지난번에 사이클로이드 곡선을 그린 방식처럼 표현했죠. 특히 이번에는 원점을 중심으로 회전하는 형태라 복소수 표현이 더 유용했어요.

하이포사이클로이드도 같이 그려볼까 했지만, 그리는데 주의할 점이 달라 다음 기회에 자세히 다뤄볼게요.