수학하는 아저씨

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 ..

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3{)}^2+(y+3{)}^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B..

세 점 A$(-4,2\sqrt{5})$, B$(4,-2\sqrt{5})$, C$(8,3\sqrt{5})$에 대해 두 점 P, Q가 다음 조건을 모두 만족한다.(가) 직선 AP의 기울기와 직선 BP의 기울기의 곱은 -1이다.(나) 점 Q는 선분 BP의 중점이다.선분 CQ의 길이의 최댓값은?(가)에서 말하는 기울기의 곱이 -1이라는 건 두 직선이 수직이라는 말이죠. 즉, 삼각형 ABP는 각 P가 직각인 직각삼각형이라는 걸 알 수 있어요. 원주각과 중심각의 관계에 의해 이 삼각형의 외접원은 선분 AB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있죠.위 그림과 같이 외접원은 원점 O를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 되겠네요. 여기서 삼각형 OBQ가 ABP와 닮음이니 점 P가 원 위의 점인 것처럼, Q도 $\p{2,-\sqr..

$S$는 곡면 $x^2+y^2+z^2=1,x+y+z\ge 1$이다. $F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)$일 때 $|{\iint }_{S}F\cdot dS|$의 값은?사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제 생각엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면$$|{\iint }_{S}F\cdot \eta dS|$$라고 쓸 수 있죠. 여기서 $\eta$는 곡면 $S$의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 $F$라는 힘이 작용할 때 $S$를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론..

오랜만에 desmos 실습이네요. 이번엔 삼각형의 오심인 무게중심, 내심, 외심, 수심, 방심을 작도해 볼게요.비교적 쉬운 내용이니 각 단계를 자세히 설명하면서 desmos의 기하학 도구를 사용하는 법을 설명할까 해요.먼저 기하학 도구에 들어가서 삼각형을 그려줘야겠죠.https://www.desmos.com/geometry/0ifmo7rbni Desmos | 기하학 www.desmos.com평면 위에 아무 점이나 찍어 다각형 도구를 이용해 삼각형을 그려줬어요. 별다를 것 없는 삼각형이죠. 각 꼭짓점은 이동할 수 있으니 원하는 모양의 삼각형으로 조정도 가능해요. 따라 하실 분은 링크로 들어가서 삼각형을 그대로 쓰셔도 되고, 직접 그리셔도 상관없겠죠.먼저 무게중심 centroid은 세 중선의 교점이니 각 꼭..

수학에 흥미가 있으신 분은 제목에 있는 식을 본 적이 있을 거예요. 흔히 오일러 공식 Euler's formula이라고 하지만, 정확히는 그중에서도 각이 $\pi$인 특수한 경우죠. 정확한 공식은$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$예요. 이 공식을 제대로 이해하기 위해서는 테일러 정리 Taylor's theorem 등의 대학교 과정의 지식이 필요하죠. 적어도 미분에 대해 전혀 지식이 없다면 이해하기 힘든 내용이에요.하지만 $e$나 $\pi$라는 무리수와 $i$라는 허수로 만든 수에 1을 더하니 0이라는 사실은 굉장히 신기하고 재밌죠. 원래의 공식을 살펴보더라도 양변을 $\theta$로 미분했을 때 어떤지 살펴보면 상당히 재밌어요.\[{d\over d\th}e^{i\th}=ie^{i\th},\q..

중학교에서 피타고라스 정리를 배우고 나면 여러 가지 직각삼각형을 문제에서 접하게 되죠.흔히 '특수각'이라고 하는 30˚, 45˚, 60˚를 이용해서 만들 수 있는 두 직각삼각형을 제외하면 세 변의 길이 비가 3:4:5, 5:12:13, 8:15:17인 경우가 자주 나와요. 물론 직각삼각형이니 피타고라스 정리를 만족하죠.이런 세 자연수는 어떻게 찾을 수 있을까요?피타고라스 정리를 만족하는 세 자연수를 피타고라스 수(삼조) Pythgorean triple라고 해요. 셋 중 둘을 알면 나머지 하나는 피타고라스 정리로 찾을 수 있겠죠. 가장 큰 하나는 빗변에 해당하니 나머지 둘의 제곱합이 자연수의 제곱이 되는지 보면 되겠네요.고등학교에서 삼각함수를 정의할 때처럼, 빗변이 아닌 한 변을 $x$좌표, 나머지 하나를..

지난번에 이어 오늘은 본격적으로 정다면체의 좌표를 계산해 볼게요.다섯 개의 정다면체가 함께 있을 때 비슷한 크기로 보이려면 중간반지름이라고 부르기로 한 midradius를 같게 해주는 게 좋겠죠. 간단하게 1이라고 할게요.먼저 정육면체와 정팔면체를 생각해 보면, 이 도형들만 중간반지름보다 외접반지름이나 내접반지름으로 만드는 게 더 편하죠. 하지만 위의 크기를 비슷하게 하는 목적도 있으니 중간반지름으로 계산할게요.원점을 중심으로 하는 정육면체는 내접반지름이 $r$일 때, 각 꼭짓점의 좌표를$$(d_{1}r,d_{2}r,d_{3}r),d_1,d_2,d_3\in \{-1,1\}$$로 줄 수 있죠. 각 모서리는 한 좌표의 부호만 다른 두 꼭짓점을 잇는 선분이 되겠네요. 두 꼭짓점 $(r,r,r)$와 $(r,r..

얼마 전에 desmos 3D 그래핑 계산기의 예제로 여러 다면체를 그려서 올렸죠. 정다면체에 대해서는 좌표를 구하는 힌트도 간단하게나마 적었고, desmos의 링크를 첨부해서 확인할 수도 있지만, 구체적인 방법을 소개해볼까 해요.먼저 이 글에서는 크기나 방향에 대한 기준을 정하도록 하죠.평면도형의 닮음 등에서도 그렇듯이 도형의 크기는 기준이 되는 길이를 생각하는 것이 보통이에요. 정다면체의 크기는 한 모서리의 길이로 생각할 수도 있고, 중심으로부터 각 꼭짓점이나 모서리, 면까지의 거리를 생각할 수도 있죠. 사실 어느 걸로 정해도 각 정다면체의 부피는 꽤 차이가 나기에 큰 상관은 없지만 모서리 길이를 기준으로 하면 함께 그렸을 때 너무 차이가 나니 제외할게요.꼭짓점까지의 거리는 정다면체에 외접하는 구의 반..

통계학을 배우다 보면 나오는 정규 분포 normal distribution의 그래프를 본 적이 있을 거예요. 아시는 분도 있겠지만 정확히는 그 확률 밀도 함수 probability density function$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$의 그래프로 흔히 '종 모양 곡선'이라고 하죠. $\mu$는 평균 mean(기댓값 expectation), $\sigma$는 표준편차 standard deviation를 나타내요.특히 $\mu =0$이고 $\sigma =1$인 경우를 표준 정규 분포 standard normal distribution라고 하죠.위의 그림은 사실 두 곡선을 겹쳐 그렸어요. desmos 그래핑 계산기에 ..