[문제 풀이] 면적분, 발산 정리의 응용

$S$는 곡면 $x^2+y^2+z^2=1,\quad x+y+z\ge1$이다. $F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)$일 때 $\abs{\iint_SF\cdot dS}$의 값은?

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사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제가 보기엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면\[\abs{\iint_SF\cdot\eta dS}\]라고 쓸 수 있죠. 여기서 $\eta$는 곡면 $S$의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.

이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 $F$라는 힘이 작용할 때 $S$를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론 $S$의 방향이 정해져 있지 않다면 $\eta$의 방향을 알 수 없지만, $S$에 수직인 두 단위 벡터장은 서로 -1을 곱해서 얻을 수 있으니 두 경우에서 면적분의 절댓값은 같죠.

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Desmos | 3D 그래핑 계산기

구면의 단위 법벡터는 비교적 쉽게 표현할 수 있지만, 위의 링크에서 확인할 수 있는 것처럼 중적분으로 고치기가 까다로워요. $dxdy$로 적분하려면 적분영역을 나눠야 하고, 각각의 범위도 정하기 어렵죠.

그래서 발산 정리 divergence theorem를 이용해 곡면을 바꿔주는 거예요. $V$라는 입체의 경계를 $S_*$, $V$의 외부를 향하는 $S_*$의 단위 법벡터를 $\eta_*$라 하면\[\iiint_V\nabla\cdot FdV=\iint_{S_*}F\cdot\eta_*dS_*\]라는 게 바로 발산 정리죠. 물론 세부적인 조건이 더 있지만 여기서는 생략하도록 할게요.

$V$를 $x^2+y^2+z^2\le1$과 $x+y+z\ge1$으로 정의하는 입체라면 $D$를 $x+y+z=1,\quad x^2+y^2+z^2\le1$으로 정의하는 평면의 부분집합이라고 할 때, $S_*=S\cup D$가 되죠.

$\iiint_V\nabla\cdot FdV=0$이니\[\iint_SF\cdot(x,y,z)dS=-\iint_DF\cdot{(-1,-1,-1)\over\sqrt3}dD\]가 성립해요. 즉,\[\abs{\iint_SF\cdot dS}=\abs{\iint_D{(z+1+x+y)\over\sqrt3}dD}={2\over\sqrt3}\iint_DdD\]이죠. 마지막 면적분이 $D$의 넓이가 되고, $D$는 반지름이 $\sqrt\frac23$인 원과 그 내부이니\[\abs{\iint_SF\cdot dS}={4\sqrt3\over9}\pi\]가 되겠네요.