수학하는 아저씨

에피사이클로이드를 소개하면서 함께 설명했던 것처럼, 하이포사이클로이드는 고정된 원을 따라 그 내부에서 굴러가는 원 위의 한 점이 지나는 궤적을 말해요.위의 곡선은 하이포사이클로이드 중 하나인 델토이드 deltoid예요. 보시다시피 굴러가는 원이 고정된 원의 $1\over3$이죠. 물론 이 곡선도 에피사이클로이드처럼 두 원의 비에 따라 곡선이 달라지죠. 하지만 지난 글에도 이야기한 것처럼 그릴 때 고려할 점이 많이 달라요.먼저 고정된 원 내부에 생기는 곡선이니 지난번처럼 표현하는 영역을 신경 쓸 필요가 없어요. 대신 굴러가는 원이 내부에 들어가려면 더 작아야 하죠. 또한 에피사이클로이드와 다르게 같은 비가 아니라도 같은 곡선이 나오기도 해요. 물론 비가 무리수가 되면 곡선이 같은 궤적을 반복하지 않는다는 ..

지난번에 그려봤던 사이클로이드는 직선 위를 굴러가는 원으로 만들었죠. 에피사이클로이드 epicycloid와 하이포사이클로이드 hypocycloid는 직선이 아니라 원 위를 굴러가는 원으로 만들어요.평면에서 원 위를 다른 원이 굴러가려면, 내부와 외부의 경우로 나뉘죠. 외부에서 굴러가며 만들어지는 곡선을 에피사이클로이드, 내부의 경우 하이포사이클로이드라고 해요.위의 곡선이 에피사이클로이드 중 하나인 심장형 곡선, 카디오이드 cardioid예요. 기준이 되는 고정된 원(기초원)과 굴러가는 원(구름원 epicycle)의 반지름이 같은 경우죠. 에피사이클로이드는 두 원의 반지름 길이 비에 따라 모양이 달라져요. 기초원의 반지름 길이가 구름원의 유리수 $p\over q$ ($p$와 $q$는 서로소인 양의 정수) ..

오늘은 desmos 연습으로 사이클로이드 곡선을 표현해 볼게요.사이클로이드 cycloid는 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 궤적을 나타내는 곡선이에요.위 그림은 반지름 1인 원이 $x$축 위를 굴러갈 때 원점을 지나는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드죠. 사실 곡선 자체는 그리 어렵지 않게 그릴 수 있어요. 검색만 조금 해봐도 곡선의 식은 쉽게 알 수 있으니까요.\[x=r(t-\sin t),\quad y=r(1-\cos t).\]위의 식이 잘 알려진 사이클로이드의 매개변수 방정식이에요. 원의 반지름인 $r$의 값을 정해 $r(t-\sin t,1-\cos t)$라고 입력하고, $t$의 범위만 지정해 주면 곡선이 그려지죠.desmos는 $t$를 자연스럽게 매개변수로 인식해요. $t$에 대한 ..