[desmos] 곡선을 그려보자. - 사이클로이드

오늘은 desmos 연습으로 사이클로이드 곡선을 표현해 볼게요.

사이클로이드 cycloid는 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 궤적을 나타내는 곡선이에요.

위 그림은 반지름 1인 원이 $x$축 위를 굴러갈 때 원점을 지나는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드죠. 사실 곡선 자체는 그리 어렵지 않게 그릴 수 있어요. 검색만 조금 해봐도 곡선의 식은 쉽게 알 수 있으니까요.$$x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t).$$위의 식이 잘 알려진 사이클로이드의 매개변수 방정식이에요. 원의 반지름인 $r$의 값을 정해 $r(t-\sin t,1-\cos t)$라고 입력하고, $t$의 범위만 지정해 주면 곡선이 그려지죠.

desmos는 $t$를 자연스럽게 매개변수로 인식해요. $t$에 대한 다른 조건이 없다면 입력한 식을 매개변수 방정식으로 인식하고 간단하게 곡선을 그려주죠. 기본 범위는 $0\le t\le 1$이에요. 슬라이더와는 다르게 주어진 범위를 모두 표현하죠. 중괄호 "{}" 사이에 넣는 제한 사항과 비슷해요.

$r$의 값을 슬라이더로 넣을 수도 있겠지만, 추천하진 않아요. $r$는 극좌표계의 변수로 인식하니, 슬라이더로 넣으려면 적어도 다른 변수로 바꿔주세요. 극좌표계를 사용하지 않는다면 문제가 생기지는 않지만, 혹시 사용할지도 모르잖아요?

사이클로이드는 $y=f(x)$의 형태로 나타내기는 어렵지만, $x$에 대한 주기함수죠. 원이 굴러가며 생기는 곡선이니 그 주기는 원주와 같아요. 반지름이 $r$이라면 주기는 $2\pi r$죠. 그렇다면 $x$축의 눈금을 바꿔주는 게 더 보기 좋을 수도 있겠네요.

위와 같이 눈금의 간격도 바꿀 수 있어요. 위의 경우는 설정(스패너 모양)에서 $x$축 항목의 '간격'에 pi를 입력해서 적용된 거예요.

위의 그림들에서 오른쪽 아래에 있는 로고를 누르면 식이 입력된 desmos의 그래핑 계산기로 이동해요. 직접 들어가서 확인해 보시면 알겠지만, 위의 식과는 다른 점이 많죠.

일단 바로 보이는 것은 굴러가는 원이죠. 위의 식에 원의 반지름은 확인할 수 있고, 삼각함수를 뺀 나머지 부분 $r(t,1)$이 원의 중심을 표현해요. 즉, 원의 방정식은 $(x-rt{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$이죠. 그런데 이 식은 $t$를 매개변수로 한 방정식이 아니에요. 그러니 $t$를 다른 변수로 바꾸고 슬라이더를 추가해야 하죠. 저는 $m$을 썼어요.

이 원은 사실 $x$축 위를 이동하기는 하지만, 굴러가는지 어떤지는 알 수 없어요. 그래서 굴러가는 것처럼 보이기 위해 원의 중심과 곡선을 그리는 한 점을 연결하는 선분을 그려주면 좋겠죠. 중심은 위에서 나온 것처럼 $r(m,1)$이고, 곡선을 그리는 점은 곡선 위에 있을 테니 위의 매개변수 방정식에 $t=m$을 대입해 주면 돼요.

이렇게 여러 번 사용하는 식은 따로 저장해 주면 좋겠죠? 이럴 때에는 사용하지 않는 변수를 사용하면 편리해요. 저는 $t$를 썼는데, 이건 매개변수 방정식 안에서만 사용하던 변수라 따로 저장되어 있는 내용이 없기에 사용할 수 있는 거죠. $t$를 변수로 하는 함수를 $f(t)$와 같이 이름을 정하고 등호 이후에 식을 작성하면 그래프를 그리지도 않고, 이후에 이 식을 매개변수 방정식으로도 쓸 수 있고, 숫자나 슬라이더 변수를 넣어 나온 값을 바로 쓸 수도 있어요. 물론 $x$ 같은 변수로도 할 수는 있지만, 필요 없는 그래프를 표현하기에 일일이 꺼줘야 하죠.

점이 그린 궤적과 아직 그리지 않은 궤적을 구분하기 위해 매개변수 방정식의 범위를 슬라이더 변수로 지정해 줄 수도 있어요. 위의 그림에서 파란 선은 전체 곡선이고, 그 위에 빨간 선으로 점이 지난 궤적을 표현한 거죠.

이 내용 만으로도 위와 같은 그림을 충분히 그릴 수 있지만, 저는 여기에 두 가지 작업을 더 했어요. 슬라이더를 30˚ 마다 멈추기 쉽게 매개변수 방정식의 변수 $t$에 $\frac{\pi }{6}$을 곱해주고, 표현을 편하게 하기 위해 복소수 모드를 사용했죠.

마지막으로 아래 그림은 굴러가는 원을 따라가며 찍은 동영상처럼 만든 거예요.

실제로는 원은 제자리에 있고, 반지름을 나타내는 선분과 곡선이 움직이고 있는 거죠. 물론 따라가고 있는 것처럼 보이게 하기 위해서 눈금과 숫자는 표현하지 않도록 했구요.