[desmos] 입체도형을 그려보자.

desmos에도 3차원 도형을 그릴 수 있는 도구가 있어요. 3D 그래핑 계산기죠. 저도 아직 많이 써보지 않아서 익숙하지는 않아요.

아마 그래프를 그리는 건 어렵지 않겠지만, 정다면체 같은 입체도형을 그려보려고 했더니 처음엔 막막하더라구요. 그러다 찾은 첫 방법은 부등식이에요. 평면은 세 변수의 일차 방정식으로 표현할 수 있으니, 다면체의 한 면을 기준으로 일차 부등식을 넣고 나머지 면들에 대한 부등식을 제한조건으로 주는 거죠.

https://www.desmos.com/3d/neu2mpeo59

Desmos | 3D 그래핑 계산기

위의 링크는 정사면체 regular tetrahedron를 그려본 거예요. 정사면체는 정육면체의 서로 이웃하지 않은 네 꼭짓점을 이어 만들 수 있죠. 이를 이용하면 꼭짓점의 3차원 좌표를 쉽게 얻을 수 있어요. 또한 정육면체의 남은 네 꼭짓점이 각 면의 법벡터가 되죠. 사실 이건 남은 네 꼭짓점으로 만든 또 하나의 정사면체가 대응하는 모서리끼리 직교하게 그린 쌍대다면체 dual polyhedron이기 때문이기도 해요.

쌍대다면체는 서로 꼭짓점과 면을 바꾼 것으로 생각할 수 있어요. 그러니 두 꼭짓점을 잇는 모서리는 쌍대다면체에서 두 면의 경계가 되죠. 정다면체처럼 규칙적으로 그려진 다면체는 이렇게 대응하는 모서리끼리 서로 직교하도록 쌍대다면체를 겹쳐 그릴 수 있어요.

https://www.desmos.com/3d/ddsawfqkmj

Desmos | 3D 그래핑 계산기

위의 링크는 쌍대다면체인 정육면체 cube(regular hexahedron)와 정팔면체 regular octahedron를 위에서 말한 것처럼 대응하는 모서리끼리 서로 직교하도록 그린 거예요.

특히 이런 정다면체의 경우는 꼭짓점과 무게중심을 연결하는 직선이 쌍대다면체의 한 면에 수직이기에 꼭짓점의 좌표를 그대로 쌍대다면체의 한 면의 법벡터로 사용할 수 있죠. 관심이 있으시다면 직접 각 면의 방정식을 구해서 그려보시면 좋겠네요. 위의 링크는 정육면체인 전체 표시영역에 정팔면체를 가장 크게 그릴 수 있는 방법으로 배치했지만, 정육면체의 각 면이 축에 수직이게 방정식을 세운다면 훨씬 쉬운 형태로 그릴 수 있죠.

https://www.desmos.com/3d/evqcmsckha

Desmos | 3D 그래핑 계산기

정십이면체와 정이십면체도 겹쳐 그려봤어요. 각각의 꼭짓점 좌표를 이용해서 면의 방정식을 쉽게 얻을 수 있죠. 둘은 모서리로 정오각형을 만들 수 있어서 각 꼭짓점의 좌표 성분의 비를 황금비로 표현할 수 있는 형태가 있어요. 그걸 이용해서 쉽게 꼭짓점의 좌표를 쉽게 정할 수 있고, 쌍대다면체에서 면의 방정식을 쉽게 만들 수 있는 거죠.

마지막으로 정이십면체의 각 면의 방정식을 네 개씩 정사면체를 이루도록 오등분해서 표현할 수 있는 정사면체 5복합체 compound of five tetrahedra를 소개할게요. 제가 아는 정다면체 중에서는 이게 제일 예쁘더라구요.

https://www.desmos.com/3d/60c2aynnpf

Desmos | 3D 그래핑 계산기

각 모델들은 알아보기 쉽게 최대한 정수만 써서 크게 그려봤어요. 관심이 있으시면 참고해서 직접 그려보시는 것도 좋을 것 같네요.

추가로 링크에 들어가면 모양이 조금 달라보일 수 있는데, 그건 설정(스패너 모양)에서 심도 슬라이더를 조절하면 해결될 거에요.