[desmos] 그래핑 계산기 시작하기 (복소수 모드의 편이성)

지난 글에서도 소개한 desmos에서 저는 주로 그래핑 계산기 calculator를 써요. 아직 다른 도구는 별로 사용해 본 적이 없지만, 제가 주로 쓸 만한 기능은 여기에 다 있는 것 같더라구요.

또 저는 주로 데스크탑으로 작업을 하기에 앱을 따로 쓰지는 않아요. 아무래도 변수나 명령어를 모두 영문으로 쓰다 보면 키보드가 훨씬 편한 게 사실이죠.

웹페이지(https://www.desmos.com/?lang=ko)에 처음 들어가서 필요한 기능이 있는 도구를 골라 들어가면, 솔직히 처음에는 막막하긴 하더라구요. 그래도 위에 있는 도움말에서 튜토리얼을 포함해서 여러 가지 가이드가 있어요. 사실 전 GeoGebra도 써봤기도 하고 해서 둘러보기 두 개 밖에 안 봤지만요.

desmos는 GeoGebra에 비해 슬라이더 재생도 부드럽고 식만 잘 넣으면 그래프도 잘 그리지만, 적용되는 기능이 적어서 직접 식을 세워 지정해야 하는 경우가 많죠. 그래도 익숙해지니 금방 적응이 됐어요.

먼저 저는 주로 그래핑 계산기에서 복소수 모드를 사용하기에 첫 줄에는 항상 $z=x+iy$를 넣어요. 복소수 변수를 지정해 주는 거죠. 중심이 복소수 $P$이고 반지름이 1인 원을 $|z-P|=1$이라고 나타낼 수 있는 것처럼 음함수 형태의 곡선의 방정식을 복소수로 쉽게 표현할 수 있죠. 아래 그림은 각각 복소수의 실수부와 허수부를 가져오는 기능인 real과 imag를 사용해서 그린 쌍곡선이에요.

빨간 곡선은 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\left({\mathrm{z}}^2\right)=1$, 파란 곡선은 $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathrm{z}}^2\right)=1$이다.

이 부분에도 장단점이 있는데, GeoGebra의 경우 이런 방정식의 그래프를 제대로 인식하지 못하더라구요. 비교적 일반적인 형태라고 생각하지만 아직 반영이 잘 되지 않은 부분인 것 같아요. desmos에서는 복소수와 좌표를 별개로 인식해서인지 서로 바꿔가며 연산하기 힘들고 다각형을 만드는 polygon 같은 기능은 좌표로 정의된 점만 입력이 가능해서 바꿔가며 써줘야 한다는 점이 불편하죠.

저는 모든 점을 복소수로 표시하고 필요할 때 $d(z)=(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathrm{z}),\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathrm{z}))$라는 함수를 정의해서 좌표로 만들어 쓰고 있어요. 좌표는 복소수로 바꾸기 힘들기도 하고, 일단 좌표를 복소수로 표시하면 계산이 편하거든요. 무엇보다 복소수는 둘 사이의 곱을 계산할 수 있어서 회전이 굉장히 쉽죠. $C$를 중심으로 $P$를 $\alpha$만큼 회전한다면 $(P-C)\exp (i\alpha )+C$라는 비교적 간단한 식으로 표현할 수 있어요. 축에 대한 대칭 이동도 conj (켤레 복소수, complex conjugate) 함수로 쉽게 할 수 있죠.

오늘은 제가 desmos를 시작하면서 느낀 점을 간단히 말해봤어요. 말하다 보니 복소평면의 소개 같은 느낌이 되어버렸네요. 앞으로도 이런 사용법과 설정 방법 등을 더 알게 되거나, 다른 시각화 도구를 발견한다면 비교해 보고 소개할 기회가 있었으면 해요.