[desmos] 프로필에 올린 도형을 그려보자.

이번에 프로필 사진을 바꿨어요. 언젠가 제 상징처럼 만들었던 도형이에요. 이상한 아저씨의 프로필 사진치고는 꽤 예쁘죠? 사실 구상한 지는 오래됐지만 desmos 연습도 할 겸, 새로 만들어서 프로필로 올려봤어요.

프로필에 올린 도형. 여백이 커서 잘랐다.

처음 본 사람들은 어떤 도형인지 못 알아보더라구요. 점 위치가 조금 들쭉날쭉하지만 이 도형은 십망성 decagram이죠. 일부러 더 예쁘게 만들려고 꼭짓점 위치를 조정한 거예요. 색은 desmos에서 기본적으로 사용되는 색에 제가 좋아하는 계열이 있길래 골라봤어요.

저는 오망성, 육망성 같은 용어가 괜찮은 것 같은데 사람들이 잘 쓰지 않고 보통은 오각별, 육각별로 쓰더라구요. (차라리 오각성, 육각성이 나을 거 같은데..)

십망성 중에서 교차점에서 꺾지 않고 꼭짓점을 변으로 이어가면서 한 번에 모두 이어 그릴 수 있는 것은 위의 도형처럼 변으로 이어진 꼭짓점이 서로 세 칸씩 떨어져 있는 경우 밖에 없어요.

꼭짓점이 정십각형을 이루는 십망성. 정십각형에서 세 변을 지나 도착하는 꼭짓점끼리 이어져있다.

그 밖에도 두 가지가 더 있는데, 하나는 오각형 둘을 겹친 모양, 다른 하나는 오망성을 겹친 모양이죠.

파랑은 정오각형 둘로, 검정은 정오망성 둘로 이루어진 십망성이다.

사실 10은 제가 좋아하는 숫자는 아니에요. 시작은 오망성이었죠. 정오각형의 한 변과 대각선의 길이 비가 황금비를 이뤄요. 저도 수학을 하는 사람으로서 황금비를 좋아하거든요. 둘의 비가 황금비인 이유는 조만간 다른 글로 설명할게요.

두 길이의 비가 긴 쪽과 둘의 더한 길이의 비와 같을 때, 이 비를 황금비 golden ratio라고 하고 보통 $\ph$로 표현하죠. $\ph^2=\ph+1$이 성립한다는 말이에요. 이 방정식의 두 근 중 양수인 $1+\sqrt5\over2$가 황금비 $\ph$죠. 황금비에 대한 이야기는 조금 더 있지만, 나중에 또 기회가 있으면 소개할게요.

오늘의 목표는 위에 나왔던 주황색 도형을 그리는 거니까요. 자세한 식은 생략하고, 아이디어에 대해서 설명할게요.

정오망성의 길이 비는 가져오고 싶었고, 변 중간에 꺾지 않고 한 번에 그릴 수 있는 도형을 찾고 싶었죠. 정오망성은 너무 단순하고 다른 모양이 나오지 않았어요. 정십오망성부터는 점도 너무 많고 한 번에 그려지는 형태 중에서는 마음에 드는 게 없었죠. 아래 그림에서 나오는 도형이 교차점에서 꺾지 않고 한 번에 그릴 수 있는 세 가지 정십오망성이에요.

그래서 결국 위에서 나온 빨간색 십망성을 조정하기로 했죠. 안쪽으로 보낸 다섯 개의 꼭짓점이 너무 적게 들어가면 달라진 점이 눈에 띄지 않고, 너무 많이 들어가면 오망성과 크게 달라 보이지 않게 되더라구요.

꼭짓점 위치는 정오각형의 각 꼭짓점과 각 변의 중점으로 최종 결정했죠. 정오각형이 각각 외접원과 내접원에 만나는 점이 되죠. 이 세 도형과 주황색 십망성까지 모두 그리니 뭔가 마법진 같기도 한 모양이 나오네요.

정오각형과 내접원, 외접원의 교점들로 그린 십망성.

https://www.desmos.com/calculator/oxezfyaqmf

Desmos | 그래핑 계산기

위 링크로 들어가면 위의 그림을 그린 식을 확인할 수 있어요. 일단 복소수가 낯선 분들을 위해 삼각함수로만 정리했어요.

아래 링크는 복소수로 똑같이 정리해 본 식이에요.

https://www.desmos.com/calculator/uvi4jpyeuh

Desmos | 그래핑 계산기

오늘은 프로필 사진에 대해 여러 가지로 설명하느라 수학적인 내용은 거의 생략했네요. 그래도 위의 두 링크에 식이 남아있으니 궁금하신 분들은 참고해서 궁리해 보세요.