[desmos] 정오각형과 황금비

정오각형에서 나타나는 황금비는 잘 알려져 있죠? desmos 연습으로 이 황금비에 대해 살펴보죠.

정오각형과 그 대각선으로 나타나는 여러 각. 여기 나타난 값은 모두 $\frac{\pi }{5}$의 배수이다.

정오각형은 대각선 하나로 삼각형과 사각형으로 나뉘죠. 이때 삼각형은 이등변삼각형으로 꼭짓각이 $\frac{3\pi }{5}$=108˚, 밑각이 $\frac{\pi }{5}$=36˚예요. 한 꼭짓점을 공유하는 두 대각선에 대해 이런 이등변삼각형을 생각해 보면, 대각선이 정오각형의 내각을 정확히 삼등분한다는 걸 알 수 있죠.

정오각형의 세 꼭짓점을 이어 만들 수 있는 삼각형은 모두 이등변삼각형 두 가지 중 하나로 나타나요. 하나는 위에서 말한 것과 같은 형태, 다른 하나는 한 변과 그 대각을 이어 만든 꼭짓각이 $\frac{\pi }{5}$인 경우죠. 그리고 각 삼각형들과 꼭짓점을 공유하는 다른 대각선으로 삼각형을 둘로 나눴을 때, 두 삼각형이 각각 위의 두 가지 이등변삼각형과 닮음이에요.

정오각형의 한 변의 길이를 $a$, 대각선의 교차점에서 가까운 한 꼭짓점까지의 거리를 $b$라 하면 대각선의 길이는 $a+b$이다.

이런 이등변삼각형의 성질을 이용하면 위의 그림과 같이 한 변과 대각선의 길이 비를 알 수 있죠. 크기가 다른 두 둔각 이등변삼각형이 닮음이므로 $a:a+b=b:a$가 성립하죠. $x=\frac{a}{b}$라 하면, $x^2=x+1$이고 이 방정식의 두 근 중 양수인 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$가 황금비라는 것을 알 수 있어요.

이번 글에 추가한 그림들은 desmos에서 그래핑 계산기가 아니라 기하학 geometry를 써봤어요. 그래핑 계산기에서는 각을 표시하는 게 어렵거든요. 물론 아래 그림은 그래핑 계산기로도 충분히 가능하죠.

아마 따로 기능이 추가되지 않는 한, 각을 표시해야하면 기하학을 써야겠네요.