수학하는 아저씨

오랜만에 desmos 실습이네요. 이번엔 삼각형의 오심인 무게중심, 내심, 외심, 수심, 방심을 작도해 볼게요.비교적 쉬운 내용이니 각 단계를 자세히 설명하면서 desmos의 기하학 도구를 사용하는 법을 설명할까 해요.먼저 기하학 도구에 들어가서 삼각형을 그려줘야겠죠.https://www.desmos.com/geometry/0ifmo7rbni Desmos | 기하학 www.desmos.com평면 위에 아무 점이나 찍어 다각형 도구를 이용해 삼각형을 그려줬어요. 별다를 것 없는 삼각형이죠. 각 꼭짓점은 이동할 수 있으니 원하는 모양의 삼각형으로 조정도 가능해요. 따라 하실 분은 링크로 들어가서 삼각형을 그대로 쓰셔도 되고, 직접 그리셔도 상관없겠죠.먼저 무게중심 centroid은 세 중선의 교점이니 각 꼭..

기하학 도구를 이용해 글을 몇 개인가 쓰긴 했지만, 몇 가지 아쉬운 부분이 있었어요. 지식iN 답변에도 사용하곤 하면서 이제 조금 익숙해졌죠.기하학 도구의 기본은 '점'이에요. 모든 대상을 기준이 되는 점으로 정의하죠. 선분이라면 양 끝점, 원이라면 중심과 원 위의 한 점을 지정해야 하죠.물론 입력칸에 함수나 방정식을 넣어 곡선을 그릴 수도 있지만, 배경처럼 인식할 뿐인 것 같아요. 선택할 수 있는 대상이 아니죠. 좌표로 입력한 점은 대상으로 인식하지만요.https://www.desmos.com/geometry/si3lxhf84n Desmos | 기하학 www.desmos.com위의 링크는 원 위의 한 점을 기준으로 정오각형을 그린 거죠. 기하학 도구는 이런 작도가 가능해요.참고로 위의 작도 방법을 설명..

에피사이클로이드를 소개하면서 함께 설명했던 것처럼, 하이포사이클로이드는 고정된 원을 따라 그 내부에서 굴러가는 원 위의 한 점이 지나는 궤적을 말해요.위의 곡선은 하이포사이클로이드 중 하나인 델토이드 deltoid예요. 보시다시피 굴러가는 원이 고정된 원의 $1\over3$이죠. 물론 이 곡선도 에피사이클로이드처럼 두 원의 비에 따라 곡선이 달라지죠. 하지만 지난 글에도 이야기한 것처럼 그릴 때 고려할 점이 많이 달라요.먼저 고정된 원 내부에 생기는 곡선이니 지난번처럼 표현하는 영역을 신경 쓸 필요가 없어요. 대신 굴러가는 원이 내부에 들어가려면 더 작아야 하죠. 또한 에피사이클로이드와 다르게 같은 비가 아니라도 같은 곡선이 나오기도 해요. 물론 비가 무리수가 되면 곡선이 같은 궤적을 반복하지 않는다는 ..

아르키메데스의 다면체를 모두 소개하지는 않았지만, 먼저 쌍대인 카탈랑 다면체 Catalan solid를 소개할게요. 정다면체의 꼭짓점을 깎고 나서 모서리를 깎는 건, 특히 육팔면체나 십이이십면체에서는 꼭짓점을 깎는 것과 마찬가지이기에 그 쌍대다면체를 알아두는 게 좋겠죠.이전 글에서 소개했다시피, 저는 desmos의 3D 그래핑 계산기에서 입체도형을 그릴 때 각 면의 방정식을 이용해서 부등식으로 표현하고 있어요. 앞서 소개한 아르키메데스의 다면체들은 그 꼭짓점의 좌표를 구하기 쉽고, 쌍대다면체는 꼭짓점과 중심을 잇는 직선에 수직인 평면으로 그릴 수 있으니 그 방정식을 구하기 쉽죠.https://www.desmos.com/3d/lri6cftbxb Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com..

지난번에 그려봤던 사이클로이드는 직선 위를 굴러가는 원으로 만들었죠. 에피사이클로이드 epicycloid와 하이포사이클로이드 hypocycloid는 직선이 아니라 원 위를 굴러가는 원으로 만들어요.평면에서 원 위를 다른 원이 굴러가려면, 내부와 외부의 경우로 나뉘죠. 외부에서 굴러가며 만들어지는 곡선을 에피사이클로이드, 내부의 경우 하이포사이클로이드라고 해요.위의 곡선이 에피사이클로이드 중 하나인 심장형 곡선, 카디오이드 cardioid예요. 기준이 되는 고정된 원(기초원)과 굴러가는 원(구름원 epicycle)의 반지름이 같은 경우죠. 에피사이클로이드는 두 원의 반지름 길이 비에 따라 모양이 달라져요. 기초원의 반지름 길이가 구름원의 유리수 $p\over q$ ($p$와 $q$는 서로소인 양의 정수) ..

아르키메데스의 다면체 Archimedean solid는 볼록 정다면체(플라톤의 다면체 Platonic solid)의 꼭짓점과 모서리를 깎아 만든, 두 가지 이상의 정다각형으로 모든 면이 구성된 입체도형을 말하죠. 서로 다른 정다각형인 면끼리는 당연히 바꿔줄 수 없지만, 꼭짓점에 모인 면들은 모두 같은 구성이므로 한 꼭짓점을 다른 어떤 꼭짓점 위치로 보내도 형태를 그대로 유지할 수 있어요.꼭짓점을 깎을 때, 정다면체의 중심과 꼭짓점을 잇는 직선에 수직인 평면으로 자르기에, 이 평면들로 만들어지는 입체도형은 쌍대다면체가 되죠. 지난 글에서 쓴 쌍대다면체를 겹쳐 그린 아래의 그림을 보면 이해가 쉬워요.https://www.desmos.com/3d/lifthjpiov Desmos | 3D 그래핑 계산기 www...

오늘은 desmos 연습으로 사이클로이드 곡선을 표현해 볼게요.사이클로이드 cycloid는 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 궤적을 나타내는 곡선이에요.위 그림은 반지름 1인 원이 $x$축 위를 굴러갈 때 원점을 지나는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드죠. 사실 곡선 자체는 그리 어렵지 않게 그릴 수 있어요. 검색만 조금 해봐도 곡선의 식은 쉽게 알 수 있으니까요.\[x=r(t-\sin t),\quad y=r(1-\cos t).\]위의 식이 잘 알려진 사이클로이드의 매개변수 방정식이에요. 원의 반지름인 $r$의 값을 정해 $r(t-\sin t,1-\cos t)$라고 입력하고, $t$의 범위만 지정해 주면 곡선이 그려지죠.desmos는 $t$를 자연스럽게 매개변수로 인식해요. $t$에 대한 ..

desmos에도 3차원 도형을 그릴 수 있는 도구가 있어요. 3D 그래핑 계산기죠. 저도 아직 많이 써보지 않아서 익숙하지는 않아요.아마 그래프를 그리는 건 어렵지 않겠지만, 정다면체 같은 입체도형을 그려보려고 했더니 처음엔 막막하더라구요. 그러다 찾은 첫 방법은 부등식이에요. 평면은 세 변수의 일차 방정식으로 표현할 수 있으니, 다면체의 한 면을 기준으로 일차 부등식을 넣고 나머지 면들에 대한 부등식을 제한조건으로 주는 거죠.https://www.desmos.com/3d/neu2mpeo59 Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com위의 링크는 정사면체 regular tetrahedron를 그려본 거예요. 정사면체는 정육면체의 서로 이웃하지 않은 네 꼭짓점을 이어 만들 수 있죠. 이를..

정오각형에서 나타나는 황금비는 잘 알려져 있죠? desmos 연습으로 이 황금비에 대해 살펴보죠.정오각형은 대각선 하나로 삼각형과 사각형으로 나뉘죠. 이때 삼각형은 이등변삼각형으로 꼭짓각이 $3\pi\over5$=108˚, 밑각이 $\pi\over5$=36˚예요. 한 꼭짓점을 공유하는 두 대각선에 대해 이런 이등변삼각형을 생각해 보면, 대각선이 정오각형의 내각을 정확히 삼등분한다는 걸 알 수 있죠.정오각형의 세 꼭짓점을 이어 만들 수 있는 삼각형은 모두 이등변삼각형 두 가지 중 하나로 나타나요. 하나는 위에서 말한 것과 같은 형태, 다른 하나는 한 변과 그 대각을 이어 만든 꼭짓각이 $\pi\over5$인 경우죠. 그리고 각 삼각형들과 꼭짓점을 공유하는 다른 대각선으로 삼각형을 둘로 나눴을 때, 두 삼각..

이번에 프로필 사진을 바꿨어요. 언젠가 제 상징처럼 만들었던 도형이에요. 이상한 아저씨의 프로필 사진치고는 꽤 예쁘죠? 사실 구상한 지는 오래됐지만 desmos 연습도 할 겸, 새로 만들어서 프로필로 올려봤어요.처음 본 사람들은 어떤 도형인지 못 알아보더라구요. 점 위치가 조금 들쭉날쭉하지만 이 도형은 십망성 decagram이죠. 일부러 더 예쁘게 만들려고 꼭짓점 위치를 조정한 거예요. 색은 desmos에서 기본적으로 사용되는 색에 제가 좋아하는 계열이 있길래 골라봤어요.저는 오망성, 육망성 같은 용어가 괜찮은 것 같은데 사람들이 잘 쓰지 않고 보통은 오각별, 육각별로 쓰더라구요. (차라리 오각성, 육각성이 나을 거 같은데..)십망성 중에서 교차점에서 꺾지 않고 꼭짓점을 변으로 이어가면서 한 번에 모두 ..