[desmos] 입체도형을 그려보자. - 카탈랑 다면체 (1)

아르키메데스의 다면체를 모두 소개하지는 않았지만, 먼저 쌍대인 카탈랑 다면체 Catalan solid를 소개할게요. 정다면체의 꼭짓점을 깎고 나서 모서리를 깎는 건, 특히 육팔면체나 십이이십면체에서는 꼭짓점을 깎는 것과 마찬가지이기에 그 쌍대다면체를 알아두는 게 좋겠죠.

이전 글에서 소개했다시피, 저는 desmos의 3D 그래핑 계산기에서 입체도형을 그릴 때 각 면의 방정식을 이용해서 부등식으로 표현하고 있어요. 앞서 소개한 아르키메데스의 다면체들은 그 꼭짓점의 좌표를 구하기 쉽고, 쌍대다면체는 꼭짓점과 중심을 잇는 직선에 수직인 평면으로 그릴 수 있으니 그 방정식을 구하기 쉽죠.

https://www.desmos.com/3d/lri6cftbxb

Desmos | 3D 그래핑 계산기

육팔면체의 쌍대인 '마름모십이면체 rhomic dodecahedron'예요. 각 면이 대각선의 길이 비가 $1:\sqrt2$인 마름모죠. 이 사실은 위 다면체의 모서리가 세 개 모이는 점끼리 연결하면 정육면체가 되고, 네 개 모이는 점끼리 연결하면 정팔면체가 된다는 점으로 이해할 수 있죠. 이전 글에서 소개한 서로 쌍대인 정다면체를 모서리가 직교하게 그린 그림을 떠올리면 되겠네요.

아르키메데스의 다면체는 모든 면이 정다각형이므로 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리가 같아요. 하지만 서로 다른 정다각형인 면은 중심으로부터의 거리가 다르죠.

쌍대인 카탈랑 다면체는 반대예요. 모이는 모서리 갯수에 따라 꼭짓점까지의 거리는 다르지만, 각 면까지의 거리는 모두 같죠.

https://www.desmos.com/3d/zbictubx8x

Desmos | 3D 그래핑 계산기

십이이십면체의 쌍대인 '마름모삼십면체 rhombic triacontahedron'예요. 각 면의 대각선 길이 비는 황금비를 이루죠.

이미 눈치 채신 분들도 있겠지만, 위 도형들의 면 갯수는 정다면체의 모서리 갯수와 대응해요. 실제로 정다면체의 모서리를 대각선으로 하는 마름모를 그려서 위 도형들을 만들 수 있죠. 물론 정사면체로 하면 정육면체가 나오구요. 마름모삼십면체에서 각 면의 긴 대각선을 이으면 정이십면체가 되고, 짧은 대각선을 이으면 정십이면체가 되는 걸 보면 알 수 있죠.

아르키메데스의 다면체는 구의 내접다면체이지만, 외접다면체는 아니에요. 위의 중심과의 거리로 알 수 있죠. 반대로 카탈랑 다면체는 구의 외접다면체지만, 내접다면체는 아니죠.

남은 건 깎은 정다면체들과 아직 소개하지 않은 아르키메데스의 다면체들의 쌍대네요. 이번엔 깎은 정다면체의 쌍대들까지만 소개할게요.

https://www.desmos.com/3d/wd2pm8yb36

Desmos | 3D 그래핑 계산기

깎은 정사면체의 쌍대인 '삼방사면체 triakis tetrahedron'예요. 정사면체의 각 면에 납작한 삼각뿔이 붙어있는 형태죠.

마찬가지로 깎아서 생긴 면이 삼각형인 도형들의 쌍대는

https://www.desmos.com/3d/0euo4ejfww

Desmos | 3D 그래핑 계산기

깎은 정육면체의 쌍대인 '삼방팔면체 triakis octahedron'와 깎은 정십이면체의 쌍대인 '삼방이십면체 triakis octahedron'가 있어요. 위의 링크는 삼방팔면체예요. 정팔면체의 각 면에 납작한 삼각뿔을 붙인 형태죠.

삼방이십면체는 desmos에서 연산이 버거운지 너무 오래 걸려서 결과를 얻지 못했어요. 아무래도 부등식이 60개이니 그러는 거겠죠. 연산하기 쉬운 형태로 만들던지 다른 방법을 써봐야겠네요. 

https://www.desmos.com/3d/gecevwdnkk

Desmos | 3D 그래핑 계산기

위의 링크는 깎은 정팔면체의 쌍대인 '사방육면체 tetrakis hexahedron'예요. 정육면체의 각 면에 납작한 사각뿔을 붙인 형태죠.

남은 건 위에서 얻지 못한 삼방이십면체와 깎은 정이십면체의 쌍대인 '오방십이면체'네요. 두 도형 모두 면이 60개나 되다보니 쉽게 얻을 수가 없네요. 식은 비교적 간단하지만, 교육용 프로그램으로 돌리기엔 너무 많은 모양이에요.