수학하는 아저씨

다음 조건을 만족하는 자연수 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$의 모든 순서쌍 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$의 개수를 구하시오.(가) $1\le a_1(나)$\sum_{n=1}^6(-1)^na_n=5$(나)의항들을순서대로둘씩묶어서생각하면$\p{a_2-a_1}+\p{a_4-a_3}+\p{a_6-a_5}=5$가되죠.(가)의부등호에따라$k=1,2,3$에대해$a_{2k}-a_{2k-1}>0$이고,이들의합이5라는사실로부터,둘은1이고남은하나는3이거나하나는1이고나머지는2여야해요.순서에따라총6가지의경우가생기죠.$a_n$이순서에따라크기가커진다는사실을이용해,$m=1,2,3,4,5$에대해$d_{m+1}=a_{m+1..

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 ..

$x_1,x_2,\dots ,x_{2023}$이 서로 다른 양의 실수라고 하자. $n=1,2,\dots ,2023$에 대해$$a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})}$$이 항상 정수라고 가정할 때, $a_n\ge 3034$임을 증명하라.이 문제에서 가장 먼저 보이는 중요한 부분은 $a_n$이 정수라는 점이겠죠. 또 하나 주목할 부분은 3034라는 숫자예요.$a_1=\sqrt{x_1/x_1}=1$이라는 건 쉽게 알 수 있죠. 여기서 $a_{2023}\ge 3034$라는 결과를 얻으려면 $a_{n+1}\ge a_n+\frac{3}{2}$이 성립한다는 걸 보이면 된다는 걸 예상할 수 있어요. 하지만 $a_n$이 정수이니..

두 실수 $a>0$와 $b$에 대해 함수$$\text{Missing end{cases}}$$가 성립하죠. $f(2)f(-2)=b-4$로 두 점에서 함숫값도 같으니 $f(x)f(-x)$는 두 점에서 동시에 연..

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다.(가) $x\le 3$에서 $f(x)=x\cdot 2^{x-1}$이다.(나) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(6-x)$이다.실수 $t(0이문제는상당히까다로워보이지만,치환적분과정에서관계식을조금고민하면쉽게풀리는문제죠.먼저주어진함수에대해살펴보면,(나)에서그그래프가$x=3$에대칭이라는걸알수있어요.알아보기쉽게고친다면$x=3+p$로바꿨을때$f(3+p)=f(3-p)$가되죠.즉,$t=f(s),\quad s이제 적분을 살펴보죠. 주어진 상태로 계산이 어려우니 $t^2=x,2tdt=dx$를 이용해 치환하는 게 좋겠네요.\[I=\int_1^{16}l'\p{\sqrt x}dx=\int_1^42tl'(t)dt.\..

극한$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)}^{\frac{1}{n}}$$을 구하시오.얼마 전에 지식iN에서 답변한 문제예요. 확실히 풀기 어렵게 만들어 놓은 까다로운 문제죠.물론 이 글의 제목을 보시면 풀이를 예측하실 수 있는 분도 계실 거예요. 이 문제는 로그함수를 이용해서 풀면 쉬워지죠.먼저 $n\to \mathrm{\infty }$에서 $n$을 양의 정수로 제한해도 문제 없다는 걸 알 수 있어요. 그보다 극한 내부에 있는 함수가 보통 양의 정수에서만 정의하는 함수이기도 하죠. $\ln x$의 정의역에 양의 정수가 포함되니, 이 두 함수를 합성해 새로운 함수를 생각하는 거예요.굳이 로그함수를 쓰는 이유는, 식을 간단히 하기 위한 거죠. 극한 내부의 함수가 곱셈을 기본으로 한 연산인 팩토리얼과 거듭제곱..

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3{)}^2+(y+3{)}^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B..

세 점 A$(-4,2\sqrt{5})$, B$(4,-2\sqrt{5})$, C$(8,3\sqrt{5})$에 대해 두 점 P, Q가 다음 조건을 모두 만족한다.(가) 직선 AP의 기울기와 직선 BP의 기울기의 곱은 -1이다.(나) 점 Q는 선분 BP의 중점이다.선분 CQ의 길이의 최댓값은?(가)에서 말하는 기울기의 곱이 -1이라는 건 두 직선이 수직이라는 말이죠. 즉, 삼각형 ABP는 각 P가 직각인 직각삼각형이라는 걸 알 수 있어요. 원주각과 중심각의 관계에 의해 이 삼각형의 외접원은 선분 AB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있죠.위 그림과 같이 외접원은 원점 O를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 되겠네요. 여기서 삼각형 OBQ가 ABP와 닮음이니 점 P가 원 위의 점인 것처럼, Q도 $\p{2,-\sqr..

${4444}^{4444}$의 각 자릿수의 합을 $A$, $A$의 각 자릿수의 합을 $B$라 할 때, $B$의 각 자릿수의 합을 구하시오.주어진 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 수에 대해 다시 각 자릿수를 더하는 것을 계속 반복하면, 결국 1에서 9까지의 자연수 중 하나가 나오죠. 그럼 이 수는 어떤 수가 될까요?이건 9의 배수의 성질을 가지고 생각할 수 있는 문제예요.십진법으로 표현된 $n$자리 자연수는$${10}^{n-1}{d}_{n-1}+{10}^{n-2}{d}_{n-2}+\cdots +{10}^0{d}_0$$이라고 표현할 수 있어요. 각 ${10}^k$의 자리가 $d_k$인 거죠. 각 자릿수의 합 $d_{n-1}+d_{n-2}+\cdots +d_0$를 비교하면 그 차가\[\overbrace{99\cdots9}^{n-2}d_{n..

$a_n=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대해$$a_{n+1}=\frac{1}{2+a_n}$$을 만족하는 수열 $a_n$의 일반항을 구하시오.비선형 점화식에 대한 일반적인 풀이는 알려져 있지 않아요. 수열을 변형해서 선형 점화식으로 만들어 푸는 게 보통이죠.문제의 주어진 점화식처럼 분모에 수열의 항이 있거나 여러 항의 곱이 나타나는 경우는 역수를 이용해서 선형 점화식으로 만들죠.$$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{\alpha }{b_n}+\beta$$와 같이 수열의 역수가 선형 점화식을 만족한다면$$b_{n+1}=\frac{b_n}{\alpha +\beta b_n}$$이라는 점화식을 얻을 수 있어요.위의 식에 맞춰 주어진 점화식을 변형해 보면\[p+a_{n+1}={1+2p+pa_n\over2+a_n}={\fra..