수학하는 아저씨

다음 조건을 만족하는 양의 정수 $g$와 $N$이 존재하는 양의 정수 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.(조건) 모든 정수 $n\ge N$에 대해 $\gcd(a^n+b,b^n+a)=g$이다.(단, $\gcd(x,y)$는 두 정수 $x,y$의 최대공약수이다.)$(a,b)$가 조건을 만족할 때, 수열 $x_n=\gcd(a^n+b,b^n+a)$를 생각해 보죠. $a$와 $b$에 동시에 서로소인 $ab+1$에 대해 $\ph(ab+1)|n$이라면 $a^n\equiv b^n\equiv1\pmod{ab+1}$이 성립해요. ($\ph(m)$은 양의 정수 $m$에 대해 그보다 작은 서로소 개수를 의미해요.) 이 내용이 유명한 오일러의 정리 Euler's theorem죠. 자세한 증명은 나중에 기회가 있으면 다루기로 ..

직각삼각형 ABC의 넓이가 $15\over2$이고 내접원의 반지름이 1일 때, 세 방접원의 반지름을 모두 구하시오.먼저 세 내각의 크기관계를 $\rm\angle A내심 I에서 각 꼭짓점에 그은 선분과 각 변에 내린 수선으로 여섯 개의 직각삼각형을 만들면 빗변을 공유하는 것들끼리 합동이 되죠. 이 수선의 발을 마주 보는 꼭짓점에 맞춰 $\rm T_A,T_B,T_C$라고 하면 사각형 $\rm IT_ACT_B$는 정사각형이에요.위 사실을 이용하면 $c=(a-1)+(b-1)=a+b-2$가 되죠. 여기에 피타고라스 정리를 이용하고 $b=\frac{15}a$를 대입하면\[\eqalign{(a+\frac{15}a-2)^2&=&a^2+{225\over a^2}\\4+30-\frac{60}a-4a&=&0\\2a^2-17..

평행사변형 ABCD에서 $\rm\ls{AB}=3cm,\quad\ls{BC}=6cm$이고, 점 D에서 변 AB의 연장선에 내린 수선의 발을 E라 하자. $\rm\ls{BC},\quad\ls{AD}$의 중점이 각각 M, N이고 ∠BEM = 25˚일 때, ∠EMC의 크기를 구하시오.지식iN 질문에 올라온 그림에는 왜곡이 있기도 해서 특징이 잘 보이지 않을 수도 있지만, 원주각의 성질을 이용하면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제예요.삼각형 ADE는 직각삼각형으로 그 외심이 빗변 AD의 중점이 되죠. 즉, 이 빗변이 외접원의 지름이 되고 평행사변형 ABCD의 한 변이니 그 길이가 선분 BC와 같은 6cm예요. 사각형 ABMN 역시 평행사변형으로 변 MN의 길이가 AB와 같은 3cm이기에 점 M은 이 원 위의 점이죠...

다음 조건을 만족하는 실수 $\alpha$를 모두 찾아라.(조건) 모든 양의 정수 $n$에 대해 정수\[\flr\alpha+\flr{2\alpha}+\cdots+\flr{n\alpha}\]가 $n$의 배수이다.(단, $\flr z$는 $z$를 넘지 않는 가장 큰 정수이다. 예를 들어, $\flr{-\pi}=-4,\quad\flr{2.9}=2$이다.)https://www.imo-official.org/ International Mathematical Olympiadwww.imo-official.org위의 링크는 국제 수학 올림피아드에 대해 안내하는 공식 홈페이지예요. 공식이라기엔 초라해 보이긴 하지만, 뭐 화려한 게 중요한 건 아니죠.지식iN에서 질문받았던 내용 중에 올림피아드 출제 문제도 있었던 것 같아..

다음 조건을 만족하는 자연수 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$의 모든 순서쌍 $\p{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6}$의 개수를 구하시오.(가) $1\le a_1(나) $\sum_{n=1}^6(-1)^na_n=5$(나)의 항들을 순서대로 둘씩 묶어서 생각하면 $\p{a_2-a_1}+\p{a_4-a_3}+\p{a_6-a_5}=5$가 되죠. (가)의 부등호에 따라 $k=1,2,3$에 대해 $a_{2k}-a_{2k-1}>0$이고, 이들의 합이 5라는 사실로부터, 둘은 1이고 남은 하나는 3이거나 하나는 1이고 나머지는 2여야 해요. 순서에 따라 총 6가지의 경우가 생기죠.$a_n$이 순서에 따라 크기가 커진다는 사실을 이용해, $m=1,2,3,4,5$에 대해 $d_{m+1}=a_{m+1..

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 ..

$x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$이 서로 다른 양의 실수라고 하자. $n=1,2,\ldots,2023$에 대해\[a_n=\sqrt{\p{x_1+x_2+\cdots+x_n}\p{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}}\]이 항상 정수라고 가정할 때, $a_n\ge3034$임을 증명하라.이 문제에서 가장 먼저 보이는 중요한 부분은 $a_n$이 정수라는 점이겠죠. 또 하나 주목할 부분은 3034라는 숫자예요.$a_1=\sqrt{x_1/x_1}=1$이라는 건 쉽게 알 수 있죠. 여기서 $a_{2023}\ge3034$라는 결과를 얻으려면 $a_{n+1}\ge a_n+\frac32$이 성립한다는 걸 보이면 된다는 걸 예상할 수 있어요. 하지만 $a_n$이 정수이니..

두 실수 $a>0$와 $b$에 대해 함수\[f(x)=\begin{cases}x+4&(x두 함수의 곱이 한 점에서 불연속이려면 둘 중 적어도 하나는 이 점에서 불연속이어야 하겠죠. 각각의 극한이 존재한다면 곱의 극한은 극한의 곱과 같으니까요.$a=4$라고 가정하면\[\eqalign{\lim_{x\to2^+}f(x)f(-x)&=&\lim_{h\to0^+}f(2+h)f(-2-h)\\&=&\lim_{h\to0^-}f(-2+h)f(2-h)&=&\lim_{x\to-2^-}f(x)f(-x),\\\lim_{x\to2^-}f(x)f(-x)&=&\cdots&=&\lim_{x\to-2^+}f(x)f(-x)}\]가 성립하죠. $f(2)f(-2)=b-4$로 두 점에서 함숫값도 같으니 $f(x)f(-x)$는 두 점에서 동시에 연..

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다.(가) $x\le3$에서 $f(x)=x\cdot2^{x-1}$이다.(나) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(6-x)$이다.실수 $t(0이 문제는 상당히 까다로워 보이지만, 치환적분 과정에서 관계식을 조금 고민하면 쉽게 풀리는 문제죠.먼저 주어진 함수에 대해 살펴보면, (나)에서 그 그래프가 $x=3$에 대칭이라는 걸 알 수 있어요. 알아보기 쉽게 고친다면 $x=3+p$로 바꿨을 때 $f(3+p)=f(3-p)$가 되죠. 즉, $t=f(s),\quad s이제 적분을 살펴보죠. 주어진 상태로 계산이 어려우니 $t^2=x,\quad2tdt=dx$를 이용해 치환하는 게 좋겠네요.\[I=\int_1^{16}l'\p{\sqrt x}dx=\int_1^42tl'(t)dt.\..

극한\[\lim_{n\to\infty}\p{(2n)!\over n!n^n}^\frac1n\]을 구하시오.얼마 전에 지식iN에서 답변한 문제예요. 확실히 풀기 어렵게 만들어 놓은 까다로운 문제죠.물론 이 글의 제목을 보시면 풀이를 예측하실 수 있는 분도 계실 거예요. 이 문제는 로그함수를 이용해서 풀면 쉬워지죠.먼저 $n\to\infty$에서 $n$을 양의 정수로 제한해도 문제 없다는 걸 알 수 있어요. 그보다 극한 내부에 있는 함수가 보통 양의 정수에서만 정의하는 함수이기도 하죠. $\ln x$의 정의역에 양의 정수가 포함되니, 이 두 함수를 합성해 새로운 함수를 생각하는 거예요.굳이 로그함수를 쓰는 이유는, 식을 간단히 하기 위한 거죠. 극한 내부의 함수가 곱셈을 기본으로 한 연산인 팩토리얼과 거듭제곱..