[문제 풀이] 삼각형의 내접원과 방접원

직각삼각형 ABC의 넓이가 $15\over2$이고 내접원의 반지름이 1일 때, 세 방접원의 반지름을 모두 구하시오.

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먼저 세 내각의 크기관계를 $\rm\angle A<\angle B<\angle C$라고 할게요. 내각 C는 직각일 테고, 각 대변의 길이를 $a,b,c$라 할 때 $a<b<c$가 성립하죠. 주어진 넓이로부터 $b=\frac{15}a$라는 걸 알 수 있어요.

내심 I에서 각 꼭짓점에 그은 선분과 각 변에 내린 수선으로 여섯 개의 직각삼각형을 만들면 빗변을 공유하는 것들끼리 합동이 되죠. 이 수선의 발을 마주 보는 꼭짓점에 맞춰 $\rm T_A,T_B,T_C$라고 하면 사각형 $\rm IT_ACT_B$는 정사각형이에요.

위 사실을 이용하면 $c=(a-1)+(b-1)=a+b-2$가 되죠. 여기에 피타고라스 정리를 이용하고 $b=\frac{15}a$를 대입하면\[\eqalign{(a+\frac{15}a-2)^2&=&a^2+{225\over a^2}\\4+30-\frac{60}a-4a&=&0\\2a^2-17a+30&=&0}\]에서 $a=\frac52$라는 걸 알 수 있어요. ($a=6$이면 $b=\frac52<a$니까요.)

직각삼각형 ABC와 내접원, 방접원. 문제의 조건에 맞게 그렸다.

위 그림과 같은 삼각형이라는 거죠. 그림에 나타낸 것처럼 세 방심 $\rm J_A,J_B,J_C$, 이 점들에서 각각 가까운 변에 내린 수선의 발을 $H_A,H_B,H_C$라 할게요. 두 방심을 이은 직선은 방심의 정의에 의해 그 사이에 있는 꼭짓점에서의 외각을 이등분하죠. 꼭짓점과 내심을 이은 직선은 내각의 이등분선으로 같은 꼭짓점의 내각과 외각의 합이 $\pi=180^\circ$라는 점을 생각하면 삼각형 ABC의 두 꼭짓점 X와 Y에 대해 직각삼각형 $\rm IXT_Y$와 $\rm XJ_YH_Y$는 닮음이란 걸 알 수 있어요.

즉, 직각삼각형 $\rm CJ_AH_A$와 $\rm CJ_BH_B$는 이등변삼각형이고, 이를 이용하면 $\rm IAT_B$와 $\rm AJ_BH_B$가 합동, $\rm IBT_A$와 $\rm BJ_AH_A$가 합동이라는 걸 알 수 있죠. 따라서 $\rm J_A$를 중심으로 하는 방접원의 반지름이 $a-1=\frac32$, $\rm J_B$쪽은 5가 돼요. 마찬가지로 $c=\rm\ls{AH_C}+\ls{BH_C}=\ls{AT_C}+\ls{BT_C}$와 삼각형의 닮음을 이용해 계산하면 나머지 하나의 반지름이 $15\over2$라는 걸 알 수 있죠.

https://www.desmos.com/geometry/hsrzsitalj

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그림을 더 자세히 살펴보고 싶다면 위 링크를 확인해 보세요.