[문제 풀이] IMO 2024 문제 1.

다음 조건을 만족하는 실수 $\alpha$를 모두 찾아라.

(조건) 모든 양의 정수 $n$에 대해 정수\[\flr\alpha+\flr{2\alpha}+\cdots+\flr{n\alpha}\]가 $n$의 배수이다.

(단, $\flr z$는 $z$를 넘지 않는 가장 큰 정수이다. 예를 들어, $\flr{-\pi}=-4,\quad\flr{2.9}=2$이다.)

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https://www.imo-official.org/

International Mathematical Olympiad

위의 링크는 국제 수학 올림피아드에 대해 안내하는 공식 홈페이지예요. 공식이라기엔 초라해 보이긴 하지만, 뭐 화려한 게 중요한 건 아니죠.

지식iN에서 질문받았던 내용 중에 올림피아드 출제 문제도 있었던 것 같아서 직접 풀어볼까 해서 들어가 봤어요. 다행히 문제들을 공개하고 있었죠. 작년뿐 아니라 연도별 문제를 각국 언어로 번역까지 해서 제공하고 있네요.

위의 문제는 작년 1번 문제예요.

먼저 가장 쉽게 조건을 만족하는 $\alpha$를 생각해 보죠. 바로 0이에요. 약수와 배수에 대해 제대로 공부했다면 0이 모든 정수의 배수라는 사실을 기억해야겠죠.

표현을 간단히 하기 위해\[s_\alpha(n)=\flr\alpha+\flr{2\alpha}+\cdots+\flr{n\alpha}\]라고 할게요. $n$이 어떤 값이든 상관없이 $s_0(n)=0$이 성립한다는 걸 알 수 있죠. 즉, $\alpha=0$일 때 문제의 조건이 성립해요.

양의 정수 $n$에 대해 $s_1(n)={n(n+1)\over2}$이기에 $n$이 홀수라면 조건이 성립하지만, 짝수라면 성립하지 않는다는 걸 알 수 있죠. 마찬가지로 $\alpha$가 정수라면 $s_\alpha(n)={n(n+1)\alpha\over2}$이기에 모든 양의 정수 $n$에 대해 성립하기 위해서는 $\alpha$가 짝수여야 해요.

사실, 문제의 조건을 만족하는 실수 $\alpha$는 위와 같이 짝수인 경우뿐이죠. 이를 증명하기 위해서는 나머지 경우에 대해 반례를 들어주면 돼요.

$\alpha$가 정수가 아니라면 $m<\alpha<m+1$을 만족하는 정수 m이 존재하겠죠. 또한 $\frac1{p+1}\le\alpha-m<\frac1p$을 만족하는 양의 정수 $p$도 존재해요.

$m$이 홀수이고 $p$가 1이 아니라면 $s_\alpha(2)=3m$은 2의 배수가 아니죠. $p=1$이라면 ${q\over q+1}\le\alpha-m<{q+1\over q+2}$을 만족하는 양의 정수 $q$가 존재해요.\[\eqalign{s_\alpha(q+2)&=&{(q+2)(q+3)m\over2}+{(q+1)(q+2)\over2}-1\\&=&{(m+1)q+3m+1\over2}(q+2)-1}\]은 $m$이 홀수이니 $q+2$의 배수가 아니죠.

$m$이 짝수라면 $s_\alpha(p+1)={(p+1)(p+2)m\over2}+1$이 $p+1$의 배수가 아니에요.

$\alpha$가 정수가 아닌 모든 경우에서 반례가 존재하니 문제의 조건을 만족하는 실수 $\alpha$는 위에서 말했던 것처럼 모든 짝수뿐이죠.