[문제 풀이] 삼각형의 외심, 중심각과 원주각, 엇각과 동위각

평행사변형 ABCD에서 $\rm\ls{AB}=3cm,\quad\ls{BC}=6cm$이고, 점 D에서 변 AB의 연장선에 내린 수선의 발을 E라 하자. $\rm\ls{BC},\quad\ls{AD}$의 중점이 각각 M, N이고 ∠BEM = 25˚일 때, ∠EMC의 크기를 구하시오.

위 문제의 도형을 표현한 그림. 길이는 표시하지 않았지만 좌표평면의 거리 1을 1cm으로 생각할 때 정확히 일치하는 그림이다. 참고로 지식iN에 올라온 질문의 그림은 왜곡이 있었다.

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지식iN 질문에 올라온 그림에는 왜곡이 있기도 해서 특징이 잘 보이지 않을 수도 있지만, 원주각의 성질을 이용하면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제예요.

삼각형 ADE는 직각삼각형으로 그 외심이 빗변 AD의 중점이 되죠. 즉, 이 빗변이 외접원의 지름이 되고 평행사변형 ABCD의 한 변이니 그 길이가 선분 BC와 같은 6cm예요. 사각형 ABMN 역시 평행사변형으로 변 MN의 길이가 AB와 같은 3cm이기에 점 M은 이 원 위의 점이죠.

직각삼각형 ADE의 외접원을 추가한 그림. 중심각과 원주각의 관계, 평행선에서 엇각의 크기가 같다는 사실을 이용해 문제가 원하는 각을 구할 수 있다.

위 그림에서 알 수 있듯이 각 ANM은 AEM을 원주각으로 가지는 호에 대한 중심각으로 그 크기가 50˚예요. 평행선에서 엇각의 크기가 같다는 사실을 이용하면 ∠EMC = ∠EMN + ∠NMC = ∠BEM + ∠ANM = 75˚라는 걸 알 수 있죠.

https://www.desmos.com/geometry/hmng8plnlt

제목 없음

위 링크에서 자세한 그림을 확인할 수 있어요.