수학하는 아저씨

$S$는 곡면 $x^2+y^2+z^2=1,\quad x+y+z\ge1$이다. $F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)$일 때 $\abs{\iint_SF\cdot dS}$의 값은?사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제 생각엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면\[\abs{\iint_SF\cdot\eta dS}\]라고 쓸 수 있죠. 여기서 $\eta$는 곡면 $S$의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 $F$라는 힘이 작용할 때 $S$를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론..

지난번에 이어 오늘은 본격적으로 정다면체의 좌표를 계산해 볼게요.다섯 개의 정다면체가 함께 있을 때 비슷한 크기로 보이려면 중간반지름이라고 부르기로 한 midradius를 같게 해주는 게 좋겠죠. 간단하게 1이라고 할게요.먼저 정육면체와 정팔면체를 생각해 보면, 이 도형들만 중간반지름보다 외접반지름이나 내접반지름으로 만드는 게 더 편하죠. 하지만 위의 크기를 비슷하게 하는 목적도 있으니 중간반지름으로 계산할게요.원점을 중심으로 하는 정육면체는 내접반지름이 $r$일 때, 각 꼭짓점의 좌표를\[\p{d_1r,d_2r,d_3r},\quad d_1,d_2,d_3\in\{-1,1\}\]로 줄 수 있죠. 각 모서리는 한 좌표의 부호만 다른 두 꼭짓점을 잇는 선분이 되겠네요. 두 꼭짓점 $(r,r,r)$와 $(r,r..

얼마 전에 desmos 3D 그래핑 계산기의 예제로 여러 다면체를 그려서 올렸죠. 정다면체에 대해서는 좌표를 구하는 힌트도 간단하게나마 적었고, desmos의 링크를 첨부해서 확인할 수도 있지만, 구체적인 방법을 소개해볼까 해요.먼저 이 글에서는 크기나 방향에 대한 기준을 정하도록 하죠.평면도형의 닮음 등에서도 그렇듯이 도형의 크기는 기준이 되는 길이를 생각하는 것이 보통이에요. 정다면체의 크기는 한 모서리의 길이로 생각할 수도 있고, 중심으로부터 각 꼭짓점이나 모서리, 면까지의 거리를 생각할 수도 있죠. 사실 어느 걸로 정해도 각 정다면체의 부피는 꽤 차이가 나기에 큰 상관은 없지만 모서리 길이를 기준으로 하면 함께 그렸을 때 너무 차이가 나니 제외할게요.꼭짓점까지의 거리는 정다면체에 외접하는 구의 반..

아르키메데스의 다면체를 모두 소개하지는 않았지만, 먼저 쌍대인 카탈랑 다면체 Catalan solid를 소개할게요. 정다면체의 꼭짓점을 깎고 나서 모서리를 깎는 건, 특히 육팔면체나 십이이십면체에서는 꼭짓점을 깎는 것과 마찬가지이기에 그 쌍대다면체를 알아두는 게 좋겠죠.이전 글에서 소개했다시피, 저는 desmos의 3D 그래핑 계산기에서 입체도형을 그릴 때 각 면의 방정식을 이용해서 부등식으로 표현하고 있어요. 앞서 소개한 아르키메데스의 다면체들은 그 꼭짓점의 좌표를 구하기 쉽고, 쌍대다면체는 꼭짓점과 중심을 잇는 직선에 수직인 평면으로 그릴 수 있으니 그 방정식을 구하기 쉽죠.https://www.desmos.com/3d/lri6cftbxb Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com..

아르키메데스의 다면체 Archimedean solid는 볼록 정다면체(플라톤의 다면체 Platonic solid)의 꼭짓점과 모서리를 깎아 만든, 두 가지 이상의 정다각형으로 모든 면이 구성된 입체도형을 말하죠. 서로 다른 정다각형인 면끼리는 당연히 바꿔줄 수 없지만, 꼭짓점에 모인 면들은 모두 같은 구성이므로 한 꼭짓점을 다른 어떤 꼭짓점 위치로 보내도 형태를 그대로 유지할 수 있어요.꼭짓점을 깎을 때, 정다면체의 중심과 꼭짓점을 잇는 직선에 수직인 평면으로 자르기에, 이 평면들로 만들어지는 입체도형은 쌍대다면체가 되죠. 지난 글에서 쓴 쌍대다면체를 겹쳐 그린 아래의 그림을 보면 이해가 쉬워요.https://www.desmos.com/3d/lifthjpiov Desmos | 3D 그래핑 계산기 www...

desmos에도 3차원 도형을 그릴 수 있는 도구가 있어요. 3D 그래핑 계산기죠. 저도 아직 많이 써보지 않아서 익숙하지는 않아요.아마 그래프를 그리는 건 어렵지 않겠지만, 정다면체 같은 입체도형을 그려보려고 했더니 처음엔 막막하더라구요. 그러다 찾은 첫 방법은 부등식이에요. 평면은 세 변수의 일차 방정식으로 표현할 수 있으니, 다면체의 한 면을 기준으로 일차 부등식을 넣고 나머지 면들에 대한 부등식을 제한조건으로 주는 거죠.https://www.desmos.com/3d/neu2mpeo59 Desmos | 3D 그래핑 계산기 www.desmos.com위의 링크는 정사면체 regular tetrahedron를 그려본 거예요. 정사면체는 정육면체의 서로 이웃하지 않은 네 꼭짓점을 이어 만들 수 있죠. 이를..