얼마 전에 desmos 3D 그래핑 계산기의 예제로 여러 다면체를 그려서 올렸죠. 정다면체에 대해서는 좌표를 구하는 힌트도 간단하게나마 적었고, desmos의 링크를 첨부해서 확인할 수도 있지만, 구체적인 방법을 소개해볼까 해요.
먼저 이 글에서는 크기나 방향에 대한 기준을 정하도록 하죠.
평면도형의 닮음 등에서도 그렇듯이 도형의 크기는 기준이 되는 길이를 생각하는 것이 보통이에요. 정다면체의 크기는 한 모서리의 길이로 생각할 수도 있고, 중심으로부터 각 꼭짓점이나 모서리, 면까지의 거리를 생각할 수도 있죠. 사실 어느 걸로 정해도 각 정다면체의 부피는 꽤 차이가 나기에 큰 상관은 없지만 모서리 길이를 기준으로 하면 함께 그렸을 때 너무 차이가 나니 제외할게요.
꼭짓점까지의 거리는 정다면체에 외접하는 구의 반지름일 테고, 면까지의 거리는 내접하는 구의 반지름이겠죠. 우리말로 따로 쓰는 용어는 없는 것 같지만 영어로는 각각 circumradius, inradius라고 해요. 외접, 내접하는 경우를 각각 circumscribed, inscribed라고 표현하는 것에서 따온 거죠. 간단히 외접반지름, 내접반지름이라고 해도 되겠네요.
쌍대인 두 정다면체를 하나의 외접반지름이 다른 하나의 내접반지름이 되게 그리면 전자의 꼭짓점이 후자에서 각 면의 중점이 되죠. 이것도 좋은 방법이겠지만, 정사면체를 제외하면 표현방식이 둘이 되니 쌍대다면체를 한 번에 표현하려면 같은 도형을 반복해서 표현해야 하고, 무엇보다 투명도가 없다면 내부에 있는 도형이 보이지 않아 아쉬워요. 투명도가 높다면 그림자가 옅어서 모서리 표현이 아쉬울 때가 많고, 낮으면 내부의 색이 탁해지고 잘 보이지 않을 수도 있죠. 표현하는 도구에 따라서는 투명도 조절이 어려울 수도 있어요.
마지막 남은 기준은 중심에서 모서리까지의 거리죠. 영어로는 midradius라고 해요. 간단히 중간반지름이라 할게요. 실제로 외접반지름보다 작고, 내접반지름보다는 크죠. 이걸 기준으로 하면 제가 예제로 그렸던 것처럼 쌍대인 두 정다면체의 각 모서리가 직교하도록 그릴 수 있어요. 그래서 저는 보통 이걸 기준으로 하죠.
https://www.desmos.com/3d/zuaatcampg
Desmos | 3D 그래핑 계산기
www.desmos.com
위의 링크는 정십이면체와 그 midscribed sphere(midsphere, 각 모서리에 접하는 구)를 그린 거예요. 모든 모서리가 같은 구에 접하죠.
중간반지름을 기준으로 하는 이유는 또 있어요. 나중에 다른 다면체를 그리는 데에 활용하기 위해서죠.
아르키메데스의 다면체는 모든 면이 정다각형이지만 두 종류 이상이라 서로 다른 정다각형은 중심으로부터 거리가 다르죠. 즉, 내접반지름을 정의할 수 없어요. 하지만 외접반지름과 중간반지름은 정의할 수 있고, 종류에 따라 다르지만 중간반지름을 기준으로 그린 정다면체를 깎아서 만들면 그 반지름을 그대로 외접반지름이나 중간반지름으로 쓸 수 있죠.
또한 카탈랑 다면체는 아르키메데스의 다면체와 쌍대이니, 그 외접반지름이나 중간반지름을 그대로 내접반지름이나 중간반지름으로 쓸 수 있어요.
이제 정다면체를 좌표공간에 어떻게 놓을지 고민해 보죠.
각 축은 서로 수직이라 정육면체는 그리기 쉬워요. 각 모서리가 축에 수직이 되도록 그리면 되죠. 이렇게 그리고 나면 각 면이 한 축에 수직인 형태가 되고, 위치를 잘 잡으면 축이 면의 중점을 지나게 돼요.
쌍대인 정팔면체도 이를 이용하면 쉽게 그려지죠. 서로 마주 보는 꼭짓점을 잇는 대각선이 축과 일치하게 그리면 되니까요.
정사면체는 아르키메데스의 다면체에 대한 글에서 소개했던 것처럼 각 꼭짓점을 모서리의 중점까지 깎으면 정팔면체가 되기에 이를 이용해 그릴 수 있어요. 서로 마주 보는 모서리의 중점이 한 축 위에 있게 되는 거죠.
정십이면체와 정이십면체의 경우, 정육면체나 정팔면체처럼 각 축에 꼭짓점이나 면을 대응시키기는 힘들어요. 한 쌍이 마주 보기는 하지만, 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 대각선의 수직이등분면을 생각해 보면 어떤 꼭짓점도 포함하지 않죠. 면의 경우는 쌍대다면체를 생각하면 되니 마찬가지예요. 즉, 원점을 중심으로 그렸을 때 서로 마주 보는 두 꼭짓점이 한 축 위에 있다면, 다른 꼭짓점은 모두 축에서 떨어져 있을 수밖에 없어요.
그래서 정사면체처럼 서로 마주 보는 모서리의 중점이 한 축 위에 있게 한다면, 정사면체와는 다르게 다른 축 중 하나에 평행하게 놓았을 때, 다른 정다면체들처럼 규칙적인 형태로 위치하게 되죠.
특히 정십이면체의 경우 정육면체를 이용해 만들 수도 있어요. 정육면체의 한 모서리와 같은 길이의 대각선을 가지는 정오각형을 두 개 가져와서 대각선 하나로 자른 이등변삼각형과 등변사다리꼴을 이용해 지붕 모양을 만들 수 있죠. 이 도형을 정육면체의 각 면에 오각형이 이어지도록 붙이면 정십이면체를 만들 수 있어요.
위의 정육면체의 위치에 이와 같은 정십이면체를 만들면 위에서 말한 위치에 놓이게 되죠.
위의 그림은 sagemath로 그린 거예요. 앞으로도 투명도를 조절한다던지 복잡한 도형을 표현하려면 이런 식으로 그려야 할 것 같네요.
오늘은 정다면체의 좌표를 계산하기 위해 먼저 크기와 방향을 정한 방법을 설명해봤어요. 다음번에는 정다면체에 나타나는 여러 가지 각을 이용해 좌표를 구해보죠.