정다면체의 좌표를 계산해보자. (2)

지난번에 이어 오늘은 본격적으로 정다면체의 좌표를 계산해 볼게요.

다섯 개의 정다면체가 함께 있을 때 비슷한 크기로 보이려면 중간반지름이라고 부르기로 한 midradius를 같게 해주는 게 좋겠죠. 간단하게 1이라고 할게요.

먼저 정육면체와 정팔면체를 생각해 보면, 이 도형들만 중간반지름보다 외접반지름이나 내접반지름으로 만드는 게 더 편하죠. 하지만 위의 크기를 비슷하게 하는 목적도 있으니 중간반지름으로 계산할게요.

원점을 중심으로 하는 정육면체는 내접반지름이 $r$일 때, 각 꼭짓점의 좌표를$$(d_{1}r,d_{2}r,d_{3}r),d_1,d_2,d_3\in \{-1,1\}$$로 줄 수 있죠. 각 모서리는 한 좌표의 부호만 다른 두 꼭짓점을 잇는 선분이 되겠네요. 두 꼭짓점 $(r,r,r)$와 $(r,r,-r)$을 잇는 모서리를 생각하면, 그 중점 $(r,r,0)$이 원점에서 내린 수선의 발이 됩니다. 즉, 중간반지름이 $\sqrt{2}r$이므로 $r=1/\sqrt{2}=2^{-1/2}$라 하면 되겠네요.

정팔면체는 위의 정육면체와 모서리가 직교하는 형태로 각 꼭짓점의 좌표가 하나는 $\pm \sqrt{2}$, 나머지는 0이 되겠죠.

https://www.desmos.com/3d/hig2akrjcv

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위의 링크에서 보이는 것처럼, 표시영역이 정육면체형이라서 정팔면체에 필요한 영역이 정육면체에 비해 상당히 커요. 그래서 이전 desmos 예제는 기울여서 표현했던 거죠. 위 그림에서 정육면체의 대각선을 기준으로 60˚ 회전하면 같은 모양이 돼요. 자세한 좌표 등은 다음에 기회가 있으면 소개할게요.

정사면체는 지난 글에서 소개한 것처럼 꼭짓점을 깎아 정팔면체로 만든다고 생각했을 때, 정팔면체의 외접반지름이 기준이 되는 중간반지름과 같다는 걸 알 수 있죠. 정팔면체에서 한 면을 깎아 만든 면이라고 보면, 모서리에서 만나는 세 면과 마주 보는 면이 정사면체의 면과 일치한다는 걸 알 수 있죠. 즉, 한 꼭짓점을 (1,1,1)이라고 한다면, 나머지는 (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)이 되겠네요.

https://www.desmos.com/3d/rmgpalhd8w

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빨간 쪽이 위에서 정한 좌표로 그린 정사면체예요. 파란 건 모서리가 직교하게 그린 쌍대다면체죠.

정십이면체와 정이십면체는 후자가 꼭짓점이 더 적으니 먼저 구해볼게요.

마주 보는 모서리가 평행이므로 평면을 결정할 수 있어요. 이 평면으로 정이십면체를 잘라보면 아래와 같은 그림이 되죠.

정이십면체의 단면. 마주 보는 두 모서리를 지나는 평면으로 잘랐다.

점선은 이해를 돕기 위해 그린 다른 모서리의 정사영이에요. 수직으로 뻗은 선은 모서리이고, 나머지는 각 면의 중선이죠. 위 그림의 오른쪽 절반, 등변사다리꼴을 생각해 볼게요. 중간반지름이 1이니 밑변이 2, 높이가 1이죠. 모서리의 길이가 $l$이라면 윗변이 $l$, 나머지 두 변이 $\frac{\sqrt{3}}{2}l$이에요. 즉, 세 변의 길이가 $\frac{\sqrt{3}}{2}l$, 1, $1-\frac{l}{2}$인 삼각형이 직각삼각형이니 $\frac{3}{4}{l}^2=1+1-l+\frac{1}{4}{l}^2,l=-1+\sqrt{5}=2\phi -2=\frac{2}{\phi }$가 되죠. $\phi$는 황금비예요.

그래서 정이십면체 꼭짓점의 좌표는$$(1,\phi -1,0),(0,1,\phi -1),(\phi -1,0,1),$$그리고 이 점들의 좌표 부호를 각각 바꾼 경우로 나타낼 수 있죠.

정십이면체도 비슷한 방식으로 구할 수 있어요.

정십이면체의 단면. 위와 마찬가지로 마주 보는 두 모서리를 기준으로 잘랐다.

여기서 수평이 아닌 나머지 선은 정오각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 거리죠. 교차하지 않는 두 대각선 사이에 나타나는 예각이등변삼각형의 높이이니 한 변의 길이가 $l$이라면 $({\phi }^2-\frac{1}{4})l$이에요. 위와 같은 방식으로 풀면 $l=3-\sqrt{5}=4-2\phi =\frac{2}{{\phi }^2}$라는 걸 알 수 있죠.

정십이면체는 꼭짓점이 20개로 8개의 좌표를 더 찾아야해요. 각각 다른 팔분공간에 있고, 위 그림에서 점선과 실선이 만나는 점이죠. 점선으로 만들어지는 오른쪽 오각형을 생각했을 때, $y$축으로부터 꼭짓점까지 거리의 비가 정오각형의 길이 비를 따르므로 $0:1:\phi$예요. 즉, $(\phi -1,\phi -1,\phi -1)$과 각 좌표의 부호를 바꾼 경우가 나머지 8개의 꼭짓점이죠.

https://www.desmos.com/3d/avunz7rw5j

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직접 좌표를 구하는 게 조금 어려웠을지도 모르겠네요. 특히 정십이면체와 정이십면체는 황금비가 나와서 계산이 복잡하게 느껴질 수도 있죠. 하지만 황금비의 성질에 익숙해지면 그리 어렵지는 않을 거예요.