[문제 풀이] 함수의 연속

두 실수 $a>0$와 $b$에 대해 함수$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+4& (x<-2)\\ (x+1{)}^2& (-2\le x<a-2)\\ -2x+b& (x\ge a-2)\end{array}$$를 생각하자. $f(x)f(-x)$가 단 하나의 점에서만 불연속일 때, $a$와 $b$를 구하시오.

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두 함수의 곱이 한 점에서 불연속이려면 둘 중 적어도 하나는 이 점에서 불연속이어야 하겠죠. 각각의 극한이 존재한다면 곱의 극한은 극한의 곱과 같으니까요.

$a=4$라고 가정하면$$\begin{array}{rll}\underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)f(-x)& =& \underset{h\to 0^{+}}{lim}f(2+h)f(-2-h)\\ & =& \underset{h\to 0^{-}}{lim}f(-2+h)f(2-h)& =& \underset{x\to -2^{-}}{lim}f(x)f(-x),\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)f(-x)& =& \cdots & =& \underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)f(-x)\end{array}$$가 성립하죠. $f(2)f(-2)=b-4$로 두 점에서 함숫값도 같으니 $f(x)f(-x)$는 두 점에서 동시에 연속이거나 불연속이에요. 다른 점에서는 모두 연속이기에 단 하나의 점에서만 불연속일 수는 없죠. 즉, $a\ne 4$예요.

$a>4$라고 가정하면$$\underset{x\to 2}{lim}f(x)=f(2)=(2+1{)}^2=9$$로부터 $x=\pm 2$에서 $f(x)f(-x)$가 불연속이라는 걸 알 수 있죠. $x=-2$에서 $f(x)$의 좌극한과 우극한이 다르니 여기에 어떤 값을 곱해 같아지는 경우는 0을 곱하는 경우뿐이니까요. 불연속점이 둘 이상이니 이 경우도 불가능하죠. 즉, $0<a<4$예요.

위의 $a=4$에서 생각한 경우처럼 $x=\pm 2$에서의 좌극한과 우극한은 같은 계산이 반복되고, $f(2)f(-2)=b-4$죠. 두 점에서 모두 불연속일 수는 없으니 위의 $a>4$인 경우를 참고하면 $b-4=0$이라는 걸 알 수 있어요.

즉, 불연속점은 $x=\pm (a-2)$에서만 나타나죠. 만약 $a\ne 2$라면 위에서 생각한 것과 비슷하게 두 점에서 모두 연속이거나 모두 불연속이니 한 점에서만 불연속일 수 없어요. 따라서 $a=2$가 되고 이때 $x=a-2=0$에서 $f(x)f(-x)$의 극한은 4로 존재하지만, ${(f(0))}^2=16$이니 연속은 아니라는 걸 알 수 있죠.