[문제 풀이] 구분구적법의 응용

극한\[\lim_{n\to\infty}\p{(2n)!\over n!n^n}^\frac1n\]을 구하시오.

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얼마 전에 지식iN에서 답변한 문제예요. 확실히 풀기 어렵게 만들어 놓은 까다로운 문제죠.

물론 이 글의 제목을 보시면 풀이를 예측하실 수 있는 분도 계실 거예요. 이 문제는 로그함수를 이용해서 풀면 쉬워지죠.

먼저 $n\to\infty$에서 $n$을 양의 정수로 제한해도 문제 없다는 걸 알 수 있어요. 그보다 극한 내부에 있는 함수가 보통 양의 정수에서만 정의하는 함수이기도 하죠. $\ln x$의 정의역에 양의 정수가 포함되니, 이 두 함수를 합성해 새로운 함수를 생각하는 거예요.

굳이 로그함수를 쓰는 이유는, 식을 간단히 하기 위한 거죠. 극한 내부의 함수가 곱셈을 기본으로 한 연산인 팩토리얼과 거듭제곱 등으로만 이루어져 있으니 로그에 넣으면 덧셈을 기본으로 하는 좀 더 쉬운 형태로 정리할 수 있을 거라고 기대할 수 있다는 거예요.

\[\ln\p{(2n)!\over n!n^n}^\frac1n=\frac1n\ln\p{2n\cdot(2n-1)\cdots(n+1)\over n\cdot n\cdots n}=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\p{1+\frac kn}.\]이와 같이 덧셈으로 표현하고 나면, 흔히 말하는 '구분구적법'의 형태를 찾을 수 있죠.\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\ln\p{1+\frac kn}\frac1n=\int_0^1\ln(1+x)dx\]로 정적분으로 고칠 수 있고, 부분적분법을 이용해 계산하면\[\int_0^1\ln(1+x)dx=\ln2-\int_0^1{x\over1+x}dx=2\ln2-1\]이 돼요.

다시 원래의 형태로 만들기 위해 위의 값을 로그함수의 역함수인 지수함수 $e^x$에 대입하면\[\lim_{n\to\infty}\p{(2n)!\over n!n^n}\frac1n=e^{2\ln2-1}=\frac4e\]를 얻을 수 있죠.