[문제 풀이] 치환 적분

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다.

(가) $x\le 3$에서 $f(x)=x\cdot 2^{x-1}$이다.
(나) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(6-x)$이다.

실수 $t(0<t<12)$에 대해 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$가 만나는 두 점 사이의 거리를 $l(t)$라 하자. ${\int }_1^{16}{l}^{\prime }\left(\sqrt{x}\right)dx$의 값을 구하시오.

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이 문제는 상당히 까다로워 보이지만, 치환적분 과정에서 관계식을 조금 고민하면 쉽게 풀리는 문제죠.

먼저 주어진 함수에 대해 살펴보면, (나)에서 그 그래프가 $x=3$에 대칭이라는 걸 알 수 있어요. 알아보기 쉽게 고친다면 $x=3+p$로 바꿨을 때 $f(3+p)=f(3-p)$가 되죠. 즉, $t=f(s),s<3$이라고 했을 때, $f(6-s)=t$가 성립하고 $l(t)=6-2s$라는 걸 알 수 있어요.

이제 적분을 살펴보죠. 주어진 상태로 계산이 어려우니 $t^2=x,2tdt=dx$를 이용해 치환하는 게 좋겠네요.$$I={\int }_1^{16}{l}^{\prime }\left(\sqrt{x}\right)dx={\int }_1^{4}2t{l}^{\prime }(t)dt.$$마침 위에서 $l(t)=6-2s$라는 걸 보였으니, $l^{\prime }(t)dt=-2ds,t=f(s)$로 다시 치환하면$$I=-4{\int }_1^{2}f(s)ds=-{\int }_1^{2}s\cdot 2^{s+1}ds$$가 되죠. 이제 부분적분법을 써서 계산해 보면$$I=-{[s\cdot \frac{2^{s+1}}{\ln 2}]}_1^2+{\int }_1^2\frac{2^{s+1}}{\ln 2}ds=-\frac{12}{\ln 2}+\frac{4}{(\ln 2{)}^2}$$가 된다는 걸 알 수 있어요.