[문제 풀이] 산술-기하 평균, 출제자의 의도 파악하기

$x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$이 서로 다른 양의 실수라고 하자. $n=1,2,\ldots,2023$에 대해\[a_n=\sqrt{\p{x_1+x_2+\cdots+x_n}\p{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}}\]이 항상 정수라고 가정할 때, $a_n\ge3034$임을 증명하라.

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이 문제에서 가장 먼저 보이는 중요한 부분은 $a_n$이 정수라는 점이겠죠. 또 하나 주목할 부분은 3034라는 숫자예요.

$a_1=\sqrt{x_1/x_1}=1$이라는 건 쉽게 알 수 있죠. 여기서 $a_{2023}\ge3034$라는 결과를 얻으려면 $a_{n+1}\ge a_n+\frac32$이 성립한다는 걸 보이면 된다는 걸 예상할 수 있어요. 하지만 $a_n$이 정수이니 $3\over2$라는 증가폭은 적용하기 어렵죠. 1 이상이라는 정보만으로는 목표인 3034라는 숫자에 닿기 힘들고, 2 이상이 가능하다면 $a_{2023}\ge4045$를 만족하니 굳이 이런 식으로 문제를 냈다는 건 이상해요. 그러니 $n$의 증가폭을 1이 아니라 2로 두고 생각해 보죠.

먼저 표현을 간단히 하기 위해\[s_n=x_1+x_2+\cdots+x_n,\quad t_n=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\]이라고 할게요. $a_n=\sqrt{s_n\cdot t_n}$에서\[\eqalign{a_{n+2}&=&\sqrt{\p{s_n+x_{n+1}+x_{n+2}}\p{t_n+\frac1{x_{n+1}}+\frac1{x_{n+2}}}}\\&=&\sqrt{s_nt_n+{s_n\over x_{n+1}}+{s_n\over x_{n+2}}+t_nx_{n+1}+t_nx_{n+2}+2+{x_{n+1}\over x_{n+2}}+{x_{n+2}\over x_{n+1}}}}\]라고 정리할 수 있죠. 여기서 제곱근 내부의 두 번째부터 네 개의 항과 마지막 두 항에 대해 각각 산술-기하 평균을 적용하면\[a_{n+2}>\sqrt{{a_n}^2+4\sqrt[4]{{s_n}^2{t_n}^2}+2+2\cdot1}=a_n+2\]가 성립해요. 등호가 성립하지 않는 이유는 $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$이 서로 다른 양수이기 때문이죠. $a_n$과 $a_{n+2}$가 모두 정수이기에 $a_{n+2}\ge a_n+3$이 돼요.

즉, $a_{2023}\ge a_1+3\cdot1011=3034$가 성립한다는 걸 알 수 있죠.