[문제 풀이] 직각삼각형의 외접원, 원 위를 움직이는 점의 궤적

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)

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어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.

주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3{)}^2+(y+3{)}^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.

점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B가 일치하지 않는다면) 직각이니 직각삼각형 OBQ의 외접원은 선분 OB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있어요. 즉, 점 Q는 이 외접원 위를 움직이는 점이라는 거죠.

다만, 점 Q가 외접원 위의 모든 점에 갈 수 있는 건 아니에요. 직선 OP가 $x$축이나 $y$축이 아니라면 점 P는 제3사분면에 위치하니 기울기가 양수가 되죠. 즉, 직선 BQ의 기울기가 음수이기에 이를 만족하는 경우는 점 Q가 제1사분면이나 그 경계에 있는 경우뿐이에요.

https://www.desmos.com/geometry/4s3hqvaftx

Desmos | 기하학

위 링크에서 확인할 수 있듯이, 점 Q의 궤적은 주황색 호로 나타나죠. 선분 OB를 대각선으로 하는 직사각형은 위의 직각삼각형 OBQ의 외접원에 내접한다는 걸 알 수 있어요. 즉, 주황색 호가 $x$축과 만나는 점은 (3,0), $y$축과 만나는 점은 (0,4)로 이 호는 반원을 이루고, 지름이 5이기에 구하고자 하는 길이는 $\frac{5}{2}\pi$가 되죠.