[문제 풀이] 직각삼각형의 외접원, 원과 그 외부의 한 점

세 점 A$\p{-4,2\sqrt5}$, B$\p{4,-2\sqrt5}$, C$\p{8,3\sqrt5}$에 대해 두 점 P, Q가 다음 조건을 모두 만족한다.

(가) 직선 AP의 기울기와 직선 BP의 기울기의 곱은 -1이다.
(나) 점 Q는 선분 BP의 중점이다.

선분 CQ의 길이의 최댓값은?

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(가)에서 말하는 기울기의 곱이 -1이라는 건 두 직선이 수직이라는 말이죠. 즉, 삼각형 ABP는 각 P가 직각인 직각삼각형이라는 걸 알 수 있어요. 원주각과 중심각의 관계에 의해 이 삼각형의 외접원은 선분 AB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있죠.

점 P와 Q의 궤적으로 나타나는 원

위 그림과 같이 외접원은 원점 O를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 되겠네요. 여기서 삼각형 OBQ가 ABP와 닮음이니 점 P가 원 위의 점인 것처럼, Q도 $\p{2,-\sqrt5}$를 중심으로 하고 반지름이 3인 원 위에 있다는 걸 알 수 있죠.

이제 점 C에서 작은 원의 중심 $\p{2,-\sqrt5}$에 그은 반직선이 작은 원과 만나는 두 점이 Q가 C에 가장 가까워지는 경우와 가장 멀어지는 경우가 된다는 걸 알 수 있어요. 점 C로부터 작은 원의 중심까지의 거리가 $\sqrt{6^2+4^2\cdot5}=2\sqrt{29}$이니 선분 CQ의 최대 길이는 $2\sqrt{29}+3$이 되죠.