[문제 풀이] 비선형 점화식을 가지는 수열의 일반항

$a_n=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대해\[a_{n+1}={1\over2+a_n}\]을 만족하는 수열 $a_n$의 일반항을 구하시오.

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비선형 점화식에 대한 일반적인 풀이는 알려져 있지 않아요. 수열을 변형해서 선형 점화식으로 만들어 푸는 게 보통이죠.

문제의 주어진 점화식처럼 분모에 수열의 항이 있거나 여러 항의 곱이 나타나는 경우는 역수를 이용해서 선형 점화식으로 만들죠.\[\frac1{b_{n+1}}=\frac\alpha{b_n}+\beta\]와 같이 수열의 역수가 선형 점화식을 만족한다면\[b_{n+1}={b_n\over\alpha+\beta b_n}\]이라는 점화식을 얻을 수 있어요.

위의 식에 맞춰 주어진 점화식을 변형해 보면\[p+a_{n+1}={1+2p+pa_n\over2+a_n}={\frac{1+2p}p+a_n\over\frac2p+\frac{a_n}p}\]이니 $p=\frac{1+2p}p$로 두면 $a_n$에 $p=1\pm\sqrt2$를 더해 역수가 선형 점화식을 만족하는 수열을 얻을 수 있죠.

$b_n=a_n+1+\sqrt2$라 하면 위의 식에서 $\alpha=2\sqrt2-1$이고 $\beta=\sqrt2-1$이에요. 이렇게 계수가 상수인 선형 점화식은 등비수열의 점화식으로 만들어 주면 되죠.\[\frac1{b_{n+1}}+\frac12=\p{2\sqrt2-1}\p{\frac1{b_n}+\frac12}\]이고 $b_1=2+\sqrt2$이니\[\frac1{b_n}={3-\sqrt2\over2}\p{2\sqrt2-1}^{n-1}-\frac12,\]즉,\[a_n={2\over\p{3-\sqrt2}\p{2\sqrt2-1}^{n-1}+1}-1-\sqrt2\]라는 일반항을 구할 수 있어요.