[문제 풀이] 비선형 점화식을 가지는 수열의 일반항

$a_n=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대해$$a_{n+1}=\frac{1}{2+a_n}$$을 만족하는 수열 $a_n$의 일반항을 구하시오.

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비선형 점화식에 대한 일반적인 풀이는 알려져 있지 않아요. 수열을 변형해서 선형 점화식으로 만들어 푸는 게 보통이죠.

문제의 주어진 점화식처럼 분모에 수열의 항이 있거나 여러 항의 곱이 나타나는 경우는 역수를 이용해서 선형 점화식으로 만들죠.$$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{\alpha }{b_n}+\beta$$와 같이 수열의 역수가 선형 점화식을 만족한다면$$b_{n+1}=\frac{b_n}{\alpha +\beta b_n}$$이라는 점화식을 얻을 수 있어요.

위의 식에 맞춰 주어진 점화식을 변형해 보면$$p+a_{n+1}=\frac{1+2p+p{a}_n}{2+a_n}=\frac{\frac{1+2p}{p}+a_n}{\frac{2}{p}+\frac{a_n}{p}}$$이니 $p=\frac{1+2p}{p}$로 두면 $a_n$에 $p=1\pm \sqrt{2}$를 더해 역수가 선형 점화식을 만족하는 수열을 얻을 수 있죠.

$b_n=a_n+1+\sqrt{2}$라 하면 위의 식에서 $\alpha =2\sqrt{2}-1$이고 $\beta =\sqrt{2}-1$이에요. 이렇게 계수가 상수인 선형 점화식은 등비수열의 점화식으로 만들어 주면 되죠.$$\frac{1}{b_{n+1}}+\frac{1}{2}=(2\sqrt{2}-1)(\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2})$$이고 $b_1=2+\sqrt{2}$이니$$\frac{1}{b_n}=\frac{3-\sqrt{2}}{2}{(2\sqrt{2}-1)}^{n-1}-\frac{1}{2},$$즉,$$a_n=\frac{2}{(3-\sqrt{2}){(2\sqrt{2}-1)}^{n-1}+1}-1-\sqrt{2}$$라는 일반항을 구할 수 있어요.