누군가의 구조요청 [문제 풀이]

[문제 풀이] 면적분, 발산 정리의 응용

uncle mathian 2024. 12. 28. 08:38
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S는 곡면 x2+y2+z2=1,x+y+z1이다. F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)일 때 |SFdS|의 값은?


사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제 생각엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면|SFηdS|라고 쓸 수 있죠. 여기서 η는 곡면 S의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.

이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 F라는 힘이 작용할 때 S를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론 S의 방향이 정해져 있지 않다면 η의 방향을 알 수 없지만, S에 수직인 두 단위 벡터장은 서로 -1을 곱해서 얻을 수 있으니 두 경우에서 면적분의 절댓값은 같죠.

https://www.desmos.com/3d/olhzjmd7je

 

Desmos | 3D 그래핑 계산기

 

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구면의 단위 법벡터는 비교적 쉽게 표현할 수 있지만, 위의 링크에서 확인할 수 있는 것처럼 중적분으로 고치기가 까다로워요. dxdy로 적분하려면 적분영역을 나눠야 하고, 각각의 범위도 정하기 어렵죠.

그래서 발산 정리 divergence theorem를 이용해 곡면을 바꿔주는 거예요. V라는 입체의 경계를 S, V의 외부를 향하는 S의 단위 법벡터를 η라 하면VFdV=SFηdS라는 게 바로 발산 정리죠. 물론 세부적인 조건이 더 있지만 여기서는 생략하도록 할게요.

Vx2+y2+z21x+y+z1로 정의하는 입체라면 Dx+y+z=1,x2+y2+z21로 정의하는 평면의 부분집합이라고 할 때, S=SD가 되죠.

VFdV=0이니SF(x,y,z)dS=DF(1,1,1)3dD가 성립해요. 즉,|SFdS|=|D(z+1+x+y)3dD|=23DdD이죠. 마지막 면적분이 D의 넓이가 되고, D는 반지름이 23인 원과 그 내부이니|SFdS|=439π가 되겠네요.

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