[문제 풀이] 연속하는 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 자연수

2의 거듭제곱이 아닌 자연수를 둘 이상의 연속하는 자연수의 합으로 나타내기 위한 일반적인 방법을 찾고 설명하시오.

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중학교 2학년인 학생분이 올린 질문이에요. 발상이 어렵지는 않지만, 풀이의 설명이 이해하기 힘들었던 것 같아요.

2의 거듭제곱은 음이 아닌 정수 $k$에 대해 $2^k$를 말하죠. 1, 2, 4, 8 등의 수예요.

어떤 자연수가 2의 거듭제곱이 아니기 위해서는 그 소인수분해에 2가 아닌 소인수, 즉, 홀수인 소인수가 있어야 하죠. 소인수분해에서 2의 거듭제곱인 부분을 제외한 나머지는 홀수의 곱 만으로 나타나니 홀수가 되고, 3 이상의 자연수들의 곱이니 자연수 $m$에 대해 $2m+1$로 쓸 수 있어요.

즉, 2의 거듭제곱이 아닌 자연수는 $2^k(2m+1)$로 나타낼 수 있죠. 이 수를 어떤 자연수 $a$와 $n$에 대해 $a$부터 시작하는 $n+1$개의 연속하는 자연수의 합으로 나타낼 수 있다면,\[2^k(2m+1)={(n+1)(2a+n)\over2}\]이 성립해요. 분모의 2를 양변에 곱한 식을 생각했을 때, $k+1$과 $m$은 자연수로 어떤 값이 와도 이런 형태로 표현할 수 있으려면, $n+1$이 $2^{k+1}$이나 $2m+1$이 될 수밖에 없죠. $k=0$이고 $2m+1$이 소수인 경우를 생각해 보면 알 수 있어요. $n+1$과 $2a+n$이 모두 1이 아니기 때문이죠.

$n+1=2m+1$이라면, $2a+n=2^{k+1}$이니 $a=2^k-m$이 성립해요. 이 경우 $2^k>m$을 만족해야겠죠. 이제 $2^k-m$부터 $2^k+m$까지의 자연수의 합을 생각하면, 당연히 $2^k(2m+1)$이 나와요.

$2^k\le m$이라면 $n+1=2^{k+1}$로 둘 수밖에 없겠네요. $2a+n=2m+1$에서 $a=m-2^k+1$이 되겠죠. 위와 마찬가지로 $m-2^k+1$부터 $m+2^k$까지의 자연수의 합이 $2^k(2m+1)$이라는 걸 알 수 있어요.

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풀이의 설명을 되도록이면 이해하기 쉽게 적으려고 했지만 잘 됐는지 모르겠네요.

교재의 풀이가 이해하기 힘든 경우는 상당히 많죠. 그럴 때일수록 풀이에 생략된 설명이 뭔지, 필요한 조건은 어떤 건지 고민하고 직접 풀이에 추가해 보세요. 처음에는 좀 어려워도, 익숙해지면 풀이의 어느 부분에 생략된 설명이나 조건이 포함되어 있었는지, 혹은 풀이가 어색하거나 틀린 부분까지도 찾을 수 있게 되죠.