[문제 풀이] 삼각형의 수심과 외심

삼각형 ABC의 변 BC를 지름으로 하는 원과 나머지 두 변 AB와 AC가 만나는 점을 각각 P와 Q라 할 때, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{P}}$와 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{Q}}$의 교점을 H라 하고, 삼각형 HAB, HBC, HCA의 외심을 각각 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$라 하자. 이때, 점 H로부터 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$에 이르는 거리를 비교하시오.

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이 문제는 삼각형의 수심과 외심의 관계에 대해 묻는 문제예요. 사실 "삼각형의 외심은 그 중점삼각형의 수심이다"라는 정리만 알면 바로 풀리는 문제죠. 물론 바로라고 해도 보조선 하나 긋지 않고 말하긴 어렵지만요.

위 문제의 그림은 desmos의 기하학 도구를 이용해 지식iN에 올라왔던 문제의 그림을 제가 직접 그린 거예요. 여기에 필요한 보조선을 추가해 보면 아래와 같은 그림이 되겠죠.

일단 각 BPC와 BQC는 중심각이 180˚인 호의 원주각이므로 모두 직각이에요. 즉, 점 H는 삼각형 ABC의 수심이죠.

내부에 진하게 표시된 삼각형은 선분 HA, HB, HC의 중점을 이어 만든 삼각형으로 ABC와 2:1로 닮음이에요. 또한 점 H는 이 삼각형에서도 여전히 수심이죠.

점 ${\mathrm{O}}_1,{\mathrm{O}}_2,{\mathrm{O}}_3$로 만들 수 있는 세 직선이 위의 세 선분의 수직이등분선으로 위의 삼각형의 각 변과 평행이에요. 그래서 이 삼각형은 ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2{\mathrm{O}}_3$의 중점삼각형이기도 하죠. 이 삼각형의 각 변의 중점에 대칭인 삼각형들이 모두 합동이니까요.

즉, H는 삼각형 ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2{\mathrm{O}}_3$에서 세 변의 수직이등분선의 교점, 바로 외심이에요. 외접원은 세 꼭짓점을 모두 지나므로 H로부터 세 점까지의 거리는 모두 같다는 걸 알 수 있죠.