[문제 풀이] 삼각함수

반지름의 길이가 $R(5<R<5\sqrt{5})$인 원에 내접하는 사각형 ABCD가 다음 조건을 만족한다.

• $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=10$이다.
• 사각형 ABCD의 넓이는 40이다.

선분 BD와 $R$의 비를 구하시오.

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선분 AC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 알고 있으므로 밑변을 AC로 했을 때 삼각형 ABC와 ACD의 높이의 합이 8이라는 것을 알 수 있죠. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이므로 원의 중심을 O라 하면 선분 OA는 BD를 수직이등분해요.

위에서 말한 높이의 합이 8이라는 건, 선분 AC와 BD가 이루는 각을 $\theta$라 할 때, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}\sin \theta =8$이라는 거죠. 선분 AC의 중점을 M이라 하고 직각삼각형 OMA를 살펴보면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=10$으로부터 $R\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=R\sin \theta =5$라는 걸 알 수 있어요.

즉, 구하고자하는 길이의 비는 8:5이라는 걸 알 수 있죠.