[문제 풀이] 원주각의 성질

GeoGebra를 연습 중에 질문받은 내용을 이미지로 만들어봤어요. 앞으로 종종 이렇게 문제 풀이도 올려보도록 할게요.

그림과 같이 길이가 6인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 위의 두 점 C와 D에 대해 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=2$일 때, 사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

지름이 6인 반원. 선분 BC와 CD의 길이는 2이다.

원주각의 성질을 이용해 합동인 직각삼각형을 찾고 이등변삼각형의 닮음을 이용해 넓이를 계산할게요.

직선 AD와 BC의 교점 E를 추가한 그림

위 그림처럼 직선 AD와 BC의 교점을 E라 하면 각 ACB가 반원의 원주각이니 $\frac{\pi }{2}$=90°이고 호 BC와 CD의 길이가 같으니 원주각인 각 BAC와 EAC가 같죠. 즉, 직각삼각형 ABC와 AEC는 ASA합동이에요.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=6$이고 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{E}}=2=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$이니 두 이등변삼각형 ABE와 CED는 밑각의 크기가 같아 닮음이죠. 두 삼각형의 닮음비는 3:1이니 넓이의 비는 9:1, 즉, 사각형 ABCD의 넓이는 이등변삼각형 ABE의 $\frac{8}{9}$이에요.

이등변삼각형 ABE의 변 BE를 밑변으로 생각하면 높이인 AC의 길이는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$이니 사각형 ABCD의 넓이는 $\frac{8}{9}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sqrt{2}=\frac{64}{9}\sqrt{2}$가 되겠네요.