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반지름의 길이가 $R\p{5<R<5\sqrt5}$인 원에 내접하는 사각형 ABCD가 다음 조건을 만족한다.
- $\rm\ls{AB}=\ls{AD}$이고 $\rm\ls{AC}=10$이다.
- 사각형 ABCD의 넓이는 40이다.
선분 BD와 $R$의 비를 구하시오.
선분 AC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 알고 있으므로 밑변을 AC로 했을 때 삼각형 ABC와 ACD의 높이의 합이 8이라는 것을 알 수 있죠. $\rm\ls{AB}=\ls{AD}$이므로 원의 중심을 O라 하면 선분 OA는 BD를 수직이등분해요.
위에서 말한 높이의 합이 8이라는 건, 선분 AC와 BD가 이루는 각을 $\th$라 할 때, $\ls{\rm BD}\sin\th=8$이라는 거죠. 선분 AC의 중점을 M이라 하고 직각삼각형 OMA를 살펴보면 $\rm\ls{AC}=10$으로부터 $R\cos\p{\frac\pi2-\th}=R\sin\th=5$라는 걸 알 수 있어요.
즉, 구하고자하는 길이의 비는 8:5이라는 걸 알 수 있죠.
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