GeoGebra를 연습 중에 질문받은 내용을 이미지로 만들어봤어요. 앞으로 종종 이렇게 문제 풀이도 올려보도록 할게요.
그림과 같이 길이가 6인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 위의 두 점 C와 D에 대해 $\ls{\rm BC}=\ls{\rm CD}=2$일 때, 사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.
원주각의 성질을 이용해 합동인 직각삼각형을 찾고 이등변삼각형의 닮음을 이용해 넓이를 계산할게요.
위 그림처럼 직선 AD와 BC의 교점을 E라 하면 각 ACB가 반원의 원주각이니 $\frac\pi2$=90°이고 호 BC와 CD의 길이가 같으니 원주각인 각 BAC와 EAC가 같죠. 즉, 직각삼각형 ABC와 AEC는 ASA합동이에요.
$\ls{\rm AE}=\ls{\rm AB}=6$이고 $\ls{\rm BC}=\ls{\rm CE}=2=\ls{\rm CD}$이니 두 이등변삼각형 ABE와 CED는 밑각의 크기가 같아 닮음이죠. 두 삼각형의 닮음비는 3:1이니 넓이의 비는 9:1, 즉, 사각형 ABCD의 넓이는 이등변삼각형 ABE의 $\frac89$이에요.
이등변삼각형 ABE의 변 BE를 밑변으로 생각하면 높이인 AC의 길이는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt2$이니 사각형 ABCD의 넓이는 $\frac89\cdot\frac12\cdot4\cdot4\sqrt2={64\over9}\sqrt2$가 되겠네요.
