[문제 풀이] 위상수학 - 일반위상에서 점렬의 수렴

$a<b$인 모든 유리수 $a$와 $b$에 대한 폐구간 $[a,b]$의 집합족 $\cal S$가 생성하는 실직선 $\R$ 상의 위상을 $\T$라고 하자. 다음 각 점렬이 수렴하는지 않는지 판단하라.

(1) $\p{2+\frac12,2+\frac13,2+\frac14,\ldots}$,

(2) $\p{\sqrt2+\frac12,\sqrt2+\frac13,\sqrt2+\frac14,\ldots}$.

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$\cal S$가 생성하는 위상은 $\cal S$를 부분기저 subbase로 가지는 가장 작은 위상이죠. 기저 base는 그 원소들의 합집합으로 모든 개집합을 만들 수 있는 집합족이고, 부분기저는 그 원소들의 유한교집합으로 기저를 구성할 수 있는 집합족이에요.

$\cal S$의 원소를 유한교집합해서 만들 수 있는 집합은 $\emp$과 전체 공간인 $\R$, 유리수의 단집합, 그리고 $\cal S$의 원소예요. $\R$을 교집합으로 만들 수 있다는 것에 아직 익숙하지 않은 분을 위해 설명하자면, 전체 공간은 교집합 연산의 항등원이므로 $\R=\bigcap_{j\in\emp}S_j$가 성립하죠.

모든 실수는 보통위상에서 그 수로 단조수렴하는 유리수열을 가지죠. 예를 들어 소수점 아래 $n$번째 자리에서 올림 또는 내림 한 값이 제 $n$항인 점렬을 생각할 수 있겠네요. 즉, $\alpha<\beta$에 대해 $n\to\infty$일 때, $a_n\searrow\alpha,\quad b_n\nearrow\beta$인 유리수열 $\p{a_n}$과 $\p{b_n}$이 존재하니, $(\alpha,\beta)=\bigcup_{n=m}^\infty\b{a_n,b_n}$이 개집합이 되죠. 결국 $\cal S$가 생성하는 위상 $\T$는 보통위상의 각 원소에 유리수의 단집합들을 합집합해서 만들 수 있는 모든 집합을 원소로 해요. 양 끝점이 유리수인 폐구간이나 유리수 집합 $\Q$도 들어가겠죠.

(1)의 점렬은 수렴하지 않아요. 점렬이 수렴하지 않는다는 걸 보이기 위해서는 모든 점에 대해 증명해야 하죠.

$n\to\infty$일 때, $2+\frac1n\to L$이라고 가정할게요. $L\le2$이면 $(-\infty,2]$는 $L$을 포함하는 개집합이지만, 점렬의 각 항을 하나도 포함하지 않죠. $L>\frac52$라면 $L\in\p{\frac52,\infty}$지만, 마찬가지로 점렬의 집합과 서로소가 돼요.

$2<L\le\frac52$이고 $L$이 무리수라면 $\frac1{L-2}-1<N<\frac1{L-2}$을 만족하는 자연수 N이 존재하니 $L\in\p{2+\frac1{N+1},2+\frac1N}$이고 이 개집합은 점렬의 집합과 서로소예요. $L$이 유리수라면 단집합 $\{L\}$이 개집합이고 점렬의 집합과의 교집합이 기껏해야 하나의 원소를 가지죠.

결국 $L$이 어떤 실수라도 수렴할 수 없다는 말이에요.

(2)의 경우는 좀 다르죠. 점렬이 $\sqrt2$로 수렴해요.

$\sqrt2$를 포함하는 개집합마다 $\p{\sqrt2-\eps,\sqrt2+\eps}$이 부분집합이게 하는 $\eps>0$이 존재하죠. $n>\frac1\eps$을 만족하는 모든 자연수 $n$에 대해 $\sqrt2+\frac1n\in\p{\sqrt2-\eps,\sqrt2+\eps}$이니 주어진 점렬은 $\sqrt2$로 수렴해요.

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위상수학은 수학전공 분야 중에서도 어렵기로 유명하죠. 지식iN에도 종종 질문이 올라와요. 수학전공이 아닌 분들은 별로 관심이 없을 수도 있지만, 대학교 전공수학 중에서도 가장 '수학적인' 접근이 필요한 내용이라고 생각해요.

제가 이전에 쓴 아래의 글과 함께 읽는다면 수학전공이 아니라도 어렵긴 하지만 이해할 수 있을 거라고 생각해요.

https://unclemathian.tistory.com/5

위상수학 topology의 사고방식

점렬(수열)의 수렴에 대한 정의 등 몇 가지 내용이 빠져있긴 하지만, 연속함수의 정의와 비교하고, 각 표현이 의미하는 바를 생각해 보면 추리해 낼 수 있겠죠.

재미 삼아 도전해 보셔도 좋지 않을까 해요. 이 내용을 처음 접하면서도 이해할 수 있다면, 굉장한 이해력이죠. 학교 수학선생님이나 주변의 수학전공자들에게 이야기해 주면 깜짝 놀랄 거예요.

이해하면 사고력에 상당한 도움이 되겠지만, 그렇지 못하다고 해서 큰 문제는 없는 내용이니 도전하지 않아도, 중간에 포기해도 괜찮아요. 뭐, 수학전공이라면 한 학기는 고생하셔야죠.