[문제 풀이] 원의 내접사각형

다음 그림과 같이 예각삼각형 ABC의 두 꼭짓점 A, B에서 각각의 대변에 그은 두 수선의 교점을 P라고 하자. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 4라고 할 때, $\rm\ls{AP}^2+\ls{BC}^2$의 값은?

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최근에 지식iN에 올라왔던 질문이에요. 보조선을 그릴만 한 곳이 바로 보이지는 않는 조금 까다로운 문제네요.

제목에서 눈치채시겠지만 이 문제는 보조선으로 내접사각형을 그리면 되는 문제죠.

위 그림처럼 선분 AP와 BP에 평행한 직선을 각각 점 B와 A를 지나도록 그리고, 그 교점을 Q라 할게요. 사각형 AQBP는 당연히 평행사변형이죠. 그리고 점 P가 수선의 교점이니 선분 AQ와 BQ는 각각 AC와 BC에 수직이에요.

이제 사각형 AQBC를 살펴보면 그림의 원에 내접하는 사각형이라는 것을 알 수 있어요. 대각의 합이 180˚인 사각형은 원에 내접하죠. 사각형을 대각선으로 나눈 두 삼각형의 외접원이 일치한다는 것을 원주각을 통해 알 수 있어요. 원 위의 한 현에 대응하는 두 호의 원주각을 더하면 180˚가 되니까요. 삼각형 ABC의 외접원은 유일하니, 점 Q도 이 외접원 위에 있을 수밖에 없죠.

위의 평행사변형에 의해 $\rm\ls{AP}=\ls{QB}$이고 삼각형 QBC는 직각삼각형이므로 $\rm\ls{AP}^2+\ls{BC}^2=\ls{CQ}^2$이에요. 외접원의 현 CQ는 양쪽 호에 대한 원주각이 모두 직각이니 지름이 되죠.

결국 원에 내접하는 사각형의 성질만 알고있다면, 비교적 쉽게 풀리는 문제죠. 위에서 소개한 것처럼 증명이 어렵지 않으니 직접 고민해보면 쉽게 기억할 수 있을 거예요.