수학하는 아저씨

다음 조건을 만족하는 자연수 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$의 모든 순서쌍 $\p{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6}$의 개수를 구하시오.(가) $1\le a_1(나) $\sum_{n=1}^6(-1)^na_n=5$(나)의 항들을 순서대로 둘씩 묶어서 생각하면 $\p{a_2-a_1}+\p{a_4-a_3}+\p{a_6-a_5}=5$가 되죠. (가)의 부등호에 따라 $k=1,2,3$에 대해 $a_{2k}-a_{2k-1}>0$이고, 이들의 합이 5라는 사실로부터, 둘은 1이고 남은 하나는 3이거나 하나는 1이고 나머지는 2여야 해요. 순서에 따라 총 6가지의 경우가 생기죠.$a_n$이 순서에 따라 크기가 커진다는 사실을 이용해, $m=1,2,3,4,5$에 대해 $d_{m+1}=a_{m+1..

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 ..

$x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$이 서로 다른 양의 실수라고 하자. $n=1,2,\ldots,2023$에 대해\[a_n=\sqrt{\p{x_1+x_2+\cdots+x_n}\p{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}}\]이 항상 정수라고 가정할 때, $a_n\ge3034$임을 증명하라.이 문제에서 가장 먼저 보이는 중요한 부분은 $a_n$이 정수라는 점이겠죠. 또 하나 주목할 부분은 3034라는 숫자예요.$a_1=\sqrt{x_1/x_1}=1$이라는 건 쉽게 알 수 있죠. 여기서 $a_{2023}\ge3034$라는 결과를 얻으려면 $a_{n+1}\ge a_n+\frac32$이 성립한다는 걸 보이면 된다는 걸 예상할 수 있어요. 하지만 $a_n$이 정수이니..

두 실수 $a>0$와 $b$에 대해 함수\[f(x)=\begin{cases}x+4&(x두 함수의 곱이 한 점에서 불연속이려면 둘 중 적어도 하나는 이 점에서 불연속이어야 하겠죠. 각각의 극한이 존재한다면 곱의 극한은 극한의 곱과 같으니까요.$a=4$라고 가정하면\[\eqalign{\lim_{x\to2^+}f(x)f(-x)&=&\lim_{h\to0^+}f(2+h)f(-2-h)\\&=&\lim_{h\to0^-}f(-2+h)f(2-h)&=&\lim_{x\to-2^-}f(x)f(-x),\\\lim_{x\to2^-}f(x)f(-x)&=&\cdots&=&\lim_{x\to-2^+}f(x)f(-x)}\]가 성립하죠. $f(2)f(-2)=b-4$로 두 점에서 함숫값도 같으니 $f(x)f(-x)$는 두 점에서 동시에 연..

대부분의 중/고등학생들은 수학 공부를 혼자 하는 경우가 많은 것 같아요. 그렇다면 혼자 하는 것이 누군가와 함께 하는 것보다 더 좋을까요? 저는 아니라고 생각해요.쉬운 내용이라면 혼자 연습하고 문제를 풀어도 상관없겠지만, 어려운 문제일수록 다른 사람의 풀이를 참고하는 것이 도움이 되죠. 물론 풀이를 자세히 적는 사람이 드물기에 서로 설명하고 듣는 형태가 많을 거예요. 저는 풀이를 자세히 적는 것에 익숙해지는 쪽을 추천하지만요.어려운 내용일수록 사람들이 접근하는 방식이 다양하죠. 수학도 마찬가지예요. 잘 이해가 되지 않던 내용도 새로운 시각을 가지면 이해가 되는 일이 많죠.이런 이야기를 들으면 더 잘하는 사람이 손해를 보는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 할 거예요. 그런데 제 경험으로는, 잘하는 쪽이 이득..

어렵지만 해야 하는 수학, 어떻게 공부해야 '제대로' 할 수 있을까요?이전 글에서 제가 했던 표현을 다시 가져와야겠네요."예외 없는 진리가 통하는 이상적인 세계를 그리는 언어"네, 수학은 언어예요. 수식은 길고 복잡한 문장을 간단한 기호로 짧게 적은 것이죠.언어를 익히려면 어떻게 해야 할까요? 일단 어휘를 먼저 알아야겠죠. 수식에 사용하는 여러 기호들의 의미를 알아야 하고, 여러 가지 수학용어의 정의를 이해해야 하죠.중학교에서 배우는 인수분해라던가 고등학교에서 배우는 미분 등 여러 가지 이론을 배우며 상당수의 학생들은 그 의미를 이해하지 못한 채, 공식만 외우는 경우가 있죠. 예를 들어 인수분해의 의미와 원리를 이해한다면 29×31=899와 같은 계산은 1초도 걸리지 않는 게 당연하죠. $57^2=324..

아무리 피하려고 해도 고등학교까지는 수학을 공부할 수밖에 없죠. 그렇다면 왜 하는 걸까요?누군가는 수학을 배워도 일상생활에 쓸 일이 없다고 말하지만, 다른 과목은 어떤가요? 일상생활에 직접 쓰일까요? 어떤 과목이든 자신의 전문분야가 되지 않는 이상, 직접 쓰일 일은 별로 없죠. 하지만 어떤 과목이라도 간접적으로는 얼마든지 쓰게 되죠.수학은 어떻게 쓰일까요? 저는 수학을 배우는 이유가 그 진리성에 있다고 생각해요. 수학은 언제나 연역적인 논리전개만을 이용해 진리를 말하죠. '수학적 귀납법'이란 용어가 있을 정도니까요. 수학을 제대로 공부한다면 이런 연역적인 논리전개를 잘 활용할 수 있게 되죠. 달리 말하면 '오류 없는 논리'에 익숙해진다는 것이죠. 이런 힘은 어딘가에 의견을 말할 때 설득력을 높여주고 잘못..

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다.(가) $x\le3$에서 $f(x)=x\cdot2^{x-1}$이다.(나) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(6-x)$이다.실수 $t(0이 문제는 상당히 까다로워 보이지만, 치환적분 과정에서 관계식을 조금 고민하면 쉽게 풀리는 문제죠.먼저 주어진 함수에 대해 살펴보면, (나)에서 그 그래프가 $x=3$에 대칭이라는 걸 알 수 있어요. 알아보기 쉽게 고친다면 $x=3+p$로 바꿨을 때 $f(3+p)=f(3-p)$가 되죠. 즉, $t=f(s),\quad s이제 적분을 살펴보죠. 주어진 상태로 계산이 어려우니 $t^2=x,\quad2tdt=dx$를 이용해 치환하는 게 좋겠네요.\[I=\int_1^{16}l'\p{\sqrt x}dx=\int_1^42tl'(t)dt.\..

극한\[\lim_{n\to\infty}\p{(2n)!\over n!n^n}^\frac1n\]을 구하시오.얼마 전에 지식iN에서 답변한 문제예요. 확실히 풀기 어렵게 만들어 놓은 까다로운 문제죠.물론 이 글의 제목을 보시면 풀이를 예측하실 수 있는 분도 계실 거예요. 이 문제는 로그함수를 이용해서 풀면 쉬워지죠.먼저 $n\to\infty$에서 $n$을 양의 정수로 제한해도 문제 없다는 걸 알 수 있어요. 그보다 극한 내부에 있는 함수가 보통 양의 정수에서만 정의하는 함수이기도 하죠. $\ln x$의 정의역에 양의 정수가 포함되니, 이 두 함수를 합성해 새로운 함수를 생각하는 거예요.굳이 로그함수를 쓰는 이유는, 식을 간단히 하기 위한 거죠. 극한 내부의 함수가 곱셈을 기본으로 한 연산인 팩토리얼과 거듭제곱..

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3)^2+(y+3)^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B..