수학하는 아저씨

삼각형 $ABC$는 $\overline{AB}3번차례인데4번을먼저가져왔네요.사실3번의풀이가꽤복잡해서쉽게정리하기가어려워요.최근글을올리지못했던것도있어서일단좀더쉽게정리할수있는4번을먼저가져왔어요.문제의조건대로그림을그려보면위와같이표현할수있죠.위그림처럼점이름을추가했을때,사각형$AQRS$는마름모예요.문제의조건에의해평행사변형이라는건쉽게알수있고,내접원과의접점으로나뉘는각변의길이를생각했을때네변의길이가같다는걸알수있죠.내심$I$는선분$AR$의중점이니삼각형의닮음을이용하면$\angle CRB=\angle KIL$이라는걸알수있어요.$\angle BYR+\angle CYR=180^\circ$이고 평..

$f(x)={\sin }^{-1}x$의 매클로린 급수를 이용해$$\pi =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(n!{)}^2{2}^{4n}(2n+1)}$$임을 보이시오.arcsin 함수의 매클로린 급수는 직접 구하기엔 상당히 까다로운 편이죠. 하지만 arctan 함수의 경우와 비교하면 조금 더 복잡하긴 해도 같은 방법을 쓸 수 있다는 걸 알 수 있어요.테일러 급수 또는 매클로린 급수는 주어진 무한히 미분가능한 함수를 '다항식처럼' 표현하는 것으로 미분과 적분이 쉽고, 원래의 함수로 되돌아가는 것도 어렵지 않죠. arctan 함수의 도함수는 $\frac{1}{1+x^2}$으로 $|x|arcsin함수도마찬가지로도함수의매클로린급수를구하면돼요.이도함수는$1\over\sqrt{1-x^2}$으로 바로 ..

오늘 소개할 내용은 함수의 정의와 경우의 수를 모두 배웠다면 한 번쯤 본 적이 있는 내용일 거예요. 바로 여러 가지 조건과 함께 두 유한 집합 사이에 정의할 수 있는 함수의 개수를 찾는 문제죠.먼저 집합의 정의에 대해 배웠다면 일반적인 함수의 정의도 바로 배웠을 거예요. 수학은 집합과 함수로 모든 걸 설명하죠. 주어진 두 집합에 대해 한 집합의 원소마다 나머지 한 집합의 원소 하나를 대응시키는 게 바로 함수예요. 이 두 집합을 순서대로 $X$와 $Y$, 함수를 $f$라고 했을 때 $f:X\to Y$라고 쓰고, $X$를 정의역 domain, $Y$를 공역 codomain이라고 하죠. 각 $x\in X$에 대응하는 공역의 원소를 $x$에 대한 함숫값이라고 하고 $f(x)$라고 표현해요. 정의역의 원소마다 공..

다음 조건을 만족하는 양의 정수 $g$와 $N$이 존재하는 양의 정수 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.(조건) 모든 정수 $n\ge N$에 대해 $gcd(a^n+b,b^n+a)=g$이다.(단, $gcd(x,y)$는 두 정수 $x,y$의 최대공약수이다.)$(a,b)$가 조건을 만족할 때, 수열 $x_n=gcd(a^n+b,b^n+a)$를 생각해 보죠. $a$와 $b$에 동시에 서로소인 $ab+1$에 대해 $\phi (ab+1)|n$이라면 $a^n\equiv b^n\equiv 1(\mathrm{mod}ab+1)$이 성립해요. ($\phi (m)$은 양의 정수 $m$에 대해 그보다 작은 서로소 개수를 의미해요.) 이 내용이 유명한 오일러의 정리 Euler's theorem죠. 자세한 증명은 나중에 기회가 있으면 다루기로 ..

직각삼각형 ABC의 넓이가 $\frac{15}{2}$이고 내접원의 반지름이 1일 때, 세 방접원의 반지름을 모두 구하시오.먼저 세 내각의 크기관계를 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{내}\mathrm{심}\mathrm{I}\mathrm{에}\mathrm{서}\mathrm{각}\mathrm{꼭}\mathrm{짓}\mathrm{점}\mathrm{에}\mathrm{그}\mathrm{은}\mathrm{선}\mathrm{분}\mathrm{과}\mathrm{각}\mathrm{변}\mathrm{에}\mathrm{내}\mathrm{린}\mathrm{수}\mathrm{선}\mathrm{으}\mathrm{로}\mathrm{여}\mathrm{섯}\mathrm{개}\mathrm{의}\mathrm{직}\mathrm{각}\mathrm{삼}\mathrm{각}\mathrm{형}\mathrm{을}\mathrm{만}\mathrm{들}\mathrm{면}\mathrm{빗}\mathrm{변}\mathrm{을}\mathrm{공}\mathrm{유}\mathrm{하}\mathrm{는}\mathrm{것}\mathrm{들}\mathrm{끼}\mathrm{리}\mathrm{합}\mathrm{동}\mathrm{이}\mathrm{되}\mathrm{죠}.\mathrm{이}\mathrm{수}\mathrm{선}\mathrm{의}\mathrm{발}\mathrm{을}\mathrm{마}\mathrm{주}\mathrm{보}\mathrm{는}\mathrm{꼭}\mathrm{짓}\mathrm{점}\mathrm{에}\mathrm{맞}\mathrm{춰}$\rm T_A,T_B,T_C$라고하면사각형$\rm IT_ACT_B$는정사각형이에요.위사실을이용하면$c=(a-1)+(b-1)=a+b-2$가되죠.여기에피타고라스정리를이용하고$b=\frac{15}a$를 대입하면\[\eqalign{(a+\frac{15}a-2)^2&=&a^2+{225\over a^2}\4+30-\frac{60}a-4a&=&0\2a^2-17..

평행사변형 ABCD에서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=3\mathrm{c}\mathrm{m},\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=6\mathrm{c}\mathrm{m}$이고, 점 D에서 변 AB의 연장선에 내린 수선의 발을 E라 하자. $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}},\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$의 중점이 각각 M, N이고 ∠BEM = 25˚일 때, ∠EMC의 크기를 구하시오.지식iN 질문에 올라온 그림에는 왜곡이 있기도 해서 특징이 잘 보이지 않을 수도 있지만, 원주각의 성질을 이용하면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제예요.삼각형 ADE는 직각삼각형으로 그 외심이 빗변 AD의 중점이 되죠. 즉, 이 빗변이 외접원의 지름이 되고 평행사변형 ABCD의 한 변이니 그 길이가 선분 BC와 같은 6cm예요. 사각형 ABMN 역시 평행사변형으로 변 MN의 길이가 AB와 같은 3cm이기에 점 M은 이 원 위의 점이죠...

다음 조건을 만족하는 실수 $\alpha$를 모두 찾아라.(조건) 모든 양의 정수 $n$에 대해 정수$$\lfloor \alpha \rfloor +\lfloor 2\alpha \rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha \rfloor$$가 $n$의 배수이다.(단, $\lfloor z\rfloor$는 $z$를 넘지 않는 가장 큰 정수이다. 예를 들어, $\lfloor -\pi \rfloor =-4,\lfloor 2.9\rfloor =2$이다.)https://www.imo-official.org/ International Mathematical Olympiadwww.imo-official.org위의 링크는 국제 수학 올림피아드에 대해 안내하는 공식 홈페이지예요. 공식이라기엔 초라해 보이긴 하지만, 뭐 화려한 게 중요한 건 아니죠.지식iN에서 질문받았던 내용 중에 올림피아드 출제 문제도 있었던 것 같아..

방정식 $x^2+y^2=1$로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 $\theta$에 대해 $(\cos \theta ,\sin \theta )$가 되죠.이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 $\theta$로 나..

다음 조건을 만족하는 자연수 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$의 모든 순서쌍 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$의 개수를 구하시오.(가) $1\le a_1(나)$\sum_{n=1}^6(-1)^na_n=5$(나)의항들을순서대로둘씩묶어서생각하면$\p{a_2-a_1}+\p{a_4-a_3}+\p{a_6-a_5}=5$가되죠.(가)의부등호에따라$k=1,2,3$에대해$a_{2k}-a_{2k-1}>0$이고,이들의합이5라는사실로부터,둘은1이고남은하나는3이거나하나는1이고나머지는2여야해요.순서에따라총6가지의경우가생기죠.$a_n$이순서에따라크기가커진다는사실을이용해,$m=1,2,3,4,5$에대해$d_{m+1}=a_{m+1..

그림과 같은 도로망에서 다음 조건을 만족하면서 A 지점에서 출발해 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오.(가) A 지점에서 P 지점까지는 →, ↑ 방향으로만 이동할 수 있다.(나) P 지점에서 B 지점까지는 →, ↘, ↓ 방향으로만 이동할 수 있다.이렇게 경우의 수를 다루는 문제에서는 곱셈, 덧셈 법칙을 이용해 어떻게 세는 것이 효율적인지 잘 파악하는 게 중요하겠죠. A에서 P까지의 경로 개수와 P에서 B까지의 경로 개수는 서로 영향을 미치지 않으니 둘을 곱해 전체 경로 개수를 얻을 수 있어요.각각의 개수를 구하는 과정에서도 어떻게 세는 게 쉬울지 고민해야겠죠. 먼저 일반적인 '최단 거리로 이동'하는 경우의 수를 찾는 문제와는 다르게 P에서 B까지의 경로에서 대각선으로 이동하는 경우는 그 양 끝점을 ..