[desmos] 삼각함수를 좌표로 나타내 보자.

방정식 $x^2+y^2=1$로 나타나는 좌표평면 위의 원을 생각하면 각 점의 좌표가 그 방위각 $\th$에 대해 $(\cos\th,\sin\th)$가 되죠.

이 그림은 desmos의 그래핑 계산기에서 그려본 거예요. 기하학 도구에서도 가능하지만, 위의 그림처럼 움직이는 상태로 첨부하는 건 그래핑 계산기가 더 편하죠. 다만 html 편집이 필요해 댓글처럼 직접 html을 건드릴 수 없는 경우에는 쓸 수 없겠네요.

저는 복소수 모드를 이용해 식을 좀 더 간단히 만들기도 했지만, 복소수 모드를 쓰지 않아도 충분히 어렵지 않게 그릴 수 있죠. 위 그림의 오른쪽 아래에 있는 'desmos'를 누르면 입력한 내용을 보거나 수정할 수 있어요.

먼저 주황색 점을 나타내는 함수를 정해야죠. 위의 그림에서 각은 $\th$로 나타나지만 다른 변수를 쓸 필요가 별로 없기에 쉽게 매개변수로 인식하는 $t$를 변수로 썼어요. $p(t)=(\cos\frac\pi6t,\sin\frac\pi6t)$라고 입력하면, 그림에 표현하는 내용 없이 매개변수 방정식을 정의할 수 있어요. $\pi\over6$를 곱해준 건 특수각이라고 부르는 각에 정확히 멈추게 하기 쉽도록 조정한 거죠.

그다음 줄이 실제로 주황색 점을 그림에 표현하는 식 $p(a)$예요. $a$는 다른 알파벳이라도 상관은 없죠. 앞서 사용한 것과 겹치지만 않으면 돼요. 이렇게 쓰지 않던 변수를 새로 입력하면 대부분 슬라이더를 추가해 주죠. 위의 그림은 이 $a$에 대한 슬라이더를 이용해 재생한 거예요. 범위는 $0\le\frac\pi6a\le2\pi$가 성립하도록 $0\le a\le12$로 했죠.

다음으로 나오는 보라색 곡선들은 범위는 다르지만 똑같이 $p(t)$로 표현되어 있죠. 위에서는 이 뒤에 등호를 써서 식을 정해주기 때문에 매개변수 방정식으로 인식해서 그림에 표현하지 않았지만, 이미 정의한 함수를 다시 입력하면 이렇게 범위를 입력할 수 있게 돼요. 원을 그리는 방법은 여러 가지가 있지만, 매개변수 방정식이 있으니 이걸 이용해서 그려본 거죠. 원이 되기 위해서는 $a$의 범위처럼 $0\le t\le12$면 되겠네요. 또한 주황색 점이 움직이는 궤적을 표현하기 위해 바로 다음 보라색 곡선은 $0\le t\le a$로 범위를 줬죠. 앞의 곡선은 설정(입력창의 톱니바퀴 모양)을 통해 불투명도를 낮춰서 구분했어요.

이제 남은 건 주황색 점에서 원점에 그은 선분과 각 축에 내린 수선, 그리고 각과 좌표의 표현이죠. 기하학 도구에서는 좀 더 편하게 그릴 수도 있지만, 그래핑 계산기에서는 모두 식으로 나타내야 해요. 먼저 각 선분은 양 끝점의 좌표에 각각 $(1-t)$와 $t$를 곱해서 더한 식으로 나타내죠. 선분의 내분을 생각하면 이해가 쉬울 거라고 생각해요. 이때 매개변수 $t$를 사용하면 따로 슬라이더가 생성되지 않고, 위의 $p(t)$로 나타낸 곡선처럼 범위를 입력할 수 있게 되죠. 직선이라면 실수 전체, 선분이라면 $0\le t\le1$로 주면 되죠. 선분이 되는 범위가 기본값이에요. 이를 이용해서 반지름과 수선을 그리는 거죠. 수선은 설정에서 파선으로 변경했어요.

마지막으로 각과 좌표의 표현은 기하학 도구라면 점이 아니라도 글자를 넣을 수 있지만, 그래핑 계산기에서는 매개변수로 나타낸 곡선과 선분 등에는 글자를 넣을 수 없죠. 그래서 각 수선의 발을 좌표로 나타내고, 입력칸 아래에 생기는 '레이블'을 체크해서 글자를 써 주면 돼요. 위의 그림처럼 수식 표현을 예쁘게 쓰려면 $\TeX$ 명령어를 사용하고 좌우에 `(grave, 강세를 표시할 때 쓰는 따옴표와 비슷한 기호, 키보드에서 1의 왼쪽에 있는 키)를 써 주면 되죠.

각의 경우 점이 움직이는 궤적을 나타낸 보라색 곡선과 마찬가지로 $0\le t\le a$의 범위에서 $p(t)$의 반지름을 줄여 나타내면 돼요. 좌표에 양수를 곱해도 방위각은 변하지 않으니 적당한 양의 정수로 나눠주면 되겠죠. 여기 표현된 $\th$는 $a\over2$에 해당하는 점을 찍고 레이블한 뒤 점을 숨긴 거예요. 앞서 나온 양의 정수와 같은 값으로 나눌 수도 있지만, 겹치지 않게 조금 더 작은 수로 나눴죠.

각 좌표의 표현이 빗변의 길이가 1인 직각삼각형을 이용했다고 생각하면 다른 변을 1로 뒀을 때 나머지 변이 또다른 삼각함수를 나타낸다는 걸 예상할 수 있어요. 이를 이용해 다른 삼각함수까지 모두 표현한 게 아래의 그림이죠.

빗변이 아닌 두 변 중에서 기준이 되는 각 $\th$와 만나는 변의 길이를 분모로 계산할 수 있는 삼각함수는 $\tan\th$와 $\sec\th$예요. 즉, 이 길이를 1로 두면 나머지 두 변의 길이가 각각 $\tan\th$와 $\sec\th$라는 거죠. 각 $\th$의 두 변이 단위원과 만나는 각 점에서 접선을 그으면 각의 두 변과 함께 직각삼각형을 하나씩 만들어요. 이 직각삼각형들의 한 변의 길이가 1이니 (단위원의 반지름) 나머지 두 변의 길이가 앞서 설명한 것처럼 $\tan\th$와 $\sec\th$가 되죠. 길이가 1인 변이 $x$축과 일치하는 경우, 접선은 $x=1$이 될테고 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이가 $\tan\th$로 빗변이 직선 $x=1$과 만나는 점의 $y$좌표에 나타나요. 빗변의 길이 $\sec\th$를 좌표로 나타내려면 빗변을 $x$축과 일치하도록 하면 되겠죠.

마찬가지로 $\th$의 대변의 길이를 1이 되게 직각삼각형을 그리면 나머지 변의 길이는 $\cot\th$와 $\csc\th$가 돼요. 이 경우는 위 그림에 나타난 $\th$를 한 각으로 그리긴 힘들죠. 그래서 $y$축과 주황색 선분이 이루는 각을 한 내각으로 하는 직각삼각형을 그리면 직각이 아닌 나머지 한 내각이 $\th$에 해당한다는 사실을 이용해 다른 방향으로 직각삼각형을 그리면 돼요. 물론 $\th$가 제1사분면의 각이 아니라면 이 직각삼각형의 내각이 $\th$가 되지 않기도 하지만 그에 대응하는 $\pi\pm\th$ 등의 각으로 표현되죠. 나머지 과정은 좌표만 바뀔뿐 위와 거의 같아요.

이 그림에서 추가된 입력에 대해 자세히 설명하지는 않았지만, 위 설명을 보고 앞서 나온 그림에 입력한 내용들을 참고하면 어렵지 않게 그릴 수 있겠죠.

https://www.desmos.com/geometry/5vhmb6js7c

Desmos | 기하학

위의 링크는 같은 내용을 기하학 도구로 표현한 거예요. 슬라이더를 추가하거나 입력칸의 설정을 바꾸기 위해서는 수식으로도 입력해야 하죠. 그린 대상을 선택해 '더 보기'의 '수식 리스트로 이동'을 선택하면 수식 표현을 추가할 수 있어요. 이 링크의 파선으로 표현한 선분들은 모두 함께 선택해 'dashed'라는 폴더로 수식을 추가했죠. 불투명도나 파선 등의 표현은 입력칸의 설정에서 가능해요.

제가 한 설명을 보고 그래핑 계산기나 기하학 도구로 어렵지 않게 그릴 수 있을 거예요.