[desmos] 삼각형의 오심을 작도해보자.

오랜만에 desmos 실습이네요. 이번엔 삼각형의 오심인 무게중심, 내심, 외심, 수심, 방심을 작도해 볼게요.

비교적 쉬운 내용이니 각 단계를 자세히 설명하면서 desmos의 기하학 도구를 사용하는 법을 설명할까 해요.

먼저 기하학 도구에 들어가서 삼각형을 그려줘야겠죠.

https://www.desmos.com/geometry/0ifmo7rbni

Desmos | 기하학

평면 위에 아무 점이나 찍어 다각형 도구를 이용해 삼각형을 그려줬어요. 별다를 것 없는 삼각형이죠. 각 꼭짓점은 이동할 수 있으니 원하는 모양의 삼각형으로 조정도 가능해요. 따라 하실 분은 링크로 들어가서 삼각형을 그대로 쓰셔도 되고, 직접 그리셔도 상관없겠죠.

먼저 무게중심 centroid은 세 중선의 교점이니 각 꼭짓점에서 대변의 중점을 연결하면 얻을 수 있겠네요.

https://www.desmos.com/geometry/dzbvkbiigc

Desmos | 기하학

desmos 기하학 도구에서는 두 점의 중점을 찾는 도구가 있어 위와 같이 간단히 표현할 수 있죠. 점을 선택하는 도구에 포함되어 있으니 참고하세요.

각 변의 중점을 찾았으니 여기서 수직인 직선을 그으면 외심 circumcenter도 쉽게 찾을 수 있겠네요.

https://www.desmos.com/geometry/sithqyi3a1

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수직이등분선을 바로 그리는 도구는 없지만, 중점에 수선을 그리면 되죠. 선 그리기 도구에 포함되어 있어요. 기준이 될 선분이 없다면 활성화가 되지 않죠. 수직이 될 선분, 직선 등을 고르고, 지나는 점을 선택하면 돼요. 수직이등분선이어야 하니 먼저 만들어 둔 각 변의 중점을 선택하면 되죠.

수선을 그릴 수 있으니 수심 orthocenter도 찾을 수 있어요.

https://www.desmos.com/geometry/getuvu02rj

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지나는 점으로 선분의 양 끝점이 아닌 나머지 꼭짓점을 선택하면 되죠.

위의 세 중심은 모두 한 직선 위에 있어요. 이 직선을 오일러 직선 Euler line이라고 하죠. 정삼각형의 경우 세 점이 일치하니 오일러 직선을 특정할 수 없어요.

https://www.desmos.com/geometry/k0tmratbq6

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위 링크의 검은색 직선이 바로 오일러 직선이죠. 각 중심은 구분하기 쉽게 색을 입혀 봤어요.

참고로 사용해 보면 쉽게 알 수 있지만 기하학 도구로 그린 도형들은 도형에 따라 처음 나타나는 색이 정해져 있죠. 선과 다각형은 파란색, 점은 보라색, 원은 초록색, 각은 검은색이에요.

오일러 직선이 지나는 중심은 위의 세 중심 말고도 또 있어요. 바로 구점원 nine-point circle의 중심이죠. 구점원은 각 변의 중점을 지나는 원이에요. 이 밖에도 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발과 각 꼭짓점과 수심의 중점까지 총 아홉 개의 점을 지나기에 구점원이죠. 이 구점원의 중심은 당연히 각 변의 중점을 이어 만든 중점삼각형 medial triangle의 외심이에요. 중점삼각형의 수심은 주어진 삼각형의 외심이고, 두 삼각형의 무게중심이 일치한다는 것도 간단히 알 수 있죠.

이제 남은 내심 incenter과 방심 excenter을 작도하기 위해서는 각의 이등분선을 그려야 해요.

https://www.desmos.com/geometry/zti6czszfe

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위 링크에서 삼각형 내부에 표시된 점이 내심, 외부의 세 점이 각각 반대쪽에 있는 꼭짓점에 대응하는 방심이죠.

각의 이등분선을 그리기 위해서는 먼저 각을 선택해야 해요. 각을 이루는 세 점을 선택하는 방법도 있지만, 다각형의 내각의 경우 다각형을 선택하면 모든 내각이 표시되죠. 각 선택 도구를 먼저 선택하고 다각형을 선택해도 되고, 선택 도구로 다각형을 선택한 후 작도 도구에서 각을 선택해도 돼요.

각의 이등분선은 이 작도 도구를 사용하죠. 각을 선택하고 작도 도구에 들어가면 각의 이등분선을 그릴 수 있어요.

방심은 한 꼭짓점의 내각과 다른 두 꼭짓점의 외각에 대한 이등분선들이 만나는 점이에요. 물론 외각을 표현하고 이등분선을 찾을 수도 있겠지만, 외각의 이등분선은 같은 꼭짓점에서 내각의 이등분선에 수직이니 수선을 그어서 찾아봤어요.

찾고자 하는 모든 중심을 찾았으니 이제 외접원과 내접원을 그려보죠. 구점원은 외접원과 같은 방식으로 그릴 수 있고, 방접원 역시 내접원과 같은 방식이니 생략할게요.

https://www.desmos.com/geometry/i1rtpf7oao

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위 링크처럼 외접원을 그리는 것은 간단해요. 외심을 찾았으니 중심으로 선택하고, 원이 지나는 한 점으로 꼭짓점 중 하나를 선택하면 되죠. 초록색으로 그렸어요. 그 위에 세 꼭짓점을 지나는 호를 그려 검은색으로 표시했죠. 호를 그리는 도구는 원 그리기 도구에 포함되어 있어요. 초록색 원과 검은색 호가 일치한다는 걸 쉽게 알 수 있죠.

내접원을 그리려면 한 과정이 더 필요해요. 지금까지 작도한 내용 중에 내접원의 중심인 내심은 있지만, 이 원이 지나는 점은 하나도 작도하지 않았거든요. 수선 그리기를 사용해 내심에서 각 변에 내린 수선의 발을 찾아야죠.

https://www.desmos.com/geometry/bam3ibfwo1

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위 링크처럼 그릴 수 있겠죠. 자세히 보면 원과 삼각형의 각 변이 만나는 점은 모두 새로운 점이에요. 링크로 들어가면 이미 작도했던 모든 도형들이 숨겨져 있으니 비교해 볼 수 있을 거예요. 삼각형의 세 꼭짓점 위치를 조절하면 나머지 도형은 모두 따라 움직이니 보기 편한 형태로 조절해 가면서 볼 수도 있죠.

이 글에서는 이등분을 위해 필요한 경우를 제외하면 따로 각을 표현하지는 않았어요. 하지만 수선을 그릴 때는 직각이 맞는지 표현해주는 편이 좋겠죠. 이런 표현에서 아쉬운 부분은 선분과 각을 이등분했다는 걸 직관적으로 보이게 표시하기 어렵다는 점이네요. 각이나 선분의 크기가 같다는 걸 표시하는 데에 크기를 레이블하는 방법 말고는 아직 없는 것 같아요.