[문제 풀이] IMO 2024 문제 4.

삼각형 $ABC$는 $\ls{AB}<\ls{AC}<\ls{BC}$를 만족한다. 이 삼각형의 내심과 내접원을 각각 $I$와 $\omega$라 하자. 점 $X$는 직선 $BC$ 위의 $C$가 아닌 점이고, $X$를 지나며 $AC$와 평행한 직선은 $\omega$에 접한다. 비슷하게 점 $Y$는 직선 $BC$ 위의 $B$가 아닌 점이고, $Y$를 지나고 $AB$에 평행한 직선은 $\omega$에 접한다. 직선 $AI$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 다시 만나는 점을 $P(\ne A)$라 하자. 점 $K$와 $L$을 각각 변 $AC$와 $AB$의 중점이라 할 때, $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$임을 보여라.

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3번 차례인데 4번을 먼저 가져왔네요. 사실 3번의 풀이가 꽤 복잡해서 쉽게 정리하기가 어려워요. 최근 글을 올리지 못했던 것도 있어서 일단 좀 더 쉽게 정리할 수 있는 4번을 먼저 가져왔어요.

 

문제의 조건에 맞춰 그린 그림. 검은색으로 표시된 두 각의 합이 180˚인지 확인해 보자.

문제의 조건대로 그림을 그려보면 위와 같이 표현할 수 있죠.

점 $Q,R,S$를 표시한 그림.

위 그림처럼 점 이름을 추가했을 때, 사각형 $AQRS$는 마름모예요. 문제의 조건에 의해 평행사변형이라는 건 쉽게 알 수 있고, 내접원과의 접점으로 나뉘는 각 변의 길이를 생각했을 때 네 변의 길이가 같다는 걸 알 수 있죠.

내심 $I$는 선분 $AR$의 중점이니 삼각형의 닮음을 이용하면 $\angle CRB=\angle KIL$이라는 걸 알 수 있어요.

 

점 $B,P,R,X$와 $C,P,R,Y$가 각각 하나의 원 위에 있음을 나타낸 그림.

$\angle BYR+\angle CYR=180^\circ$이고 평행선의 엇각으로 $\angle BYR=\angle ABC$, 원 $\omega$의 원주각으로 $\angle ABC=\angle APC$가 성립하죠. 즉, 사각형 $CYRP$는 원에 내접하는 사각형이에요. 비슷한 방법으로 사각형 $BPRX$도 원에 내접한다는 걸 알 수 있죠.

위의 두 사각형의 외접원에서 각각 원주각의 성질을 이용하면 $\angle RPX=\angle RBX$와 $\angle RPY=\angle RCY$가 성립해요. 즉, 주어진 두 각의 합은 삼각형 $BRC$의 세 내각의 합과 같으니 180˚가 되죠.