누군가의 구조요청 [문제 풀이]

[문제 풀이] 자릿수의 합

uncle mathian 2025. 1. 4. 08:34
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44444444의 각 자릿수의 합을 A, A의 각 자릿수의 합을 B라 할 때, B의 각 자릿수의 합을 구하시오.


주어진 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 수에 대해 다시 각 자릿수를 더하는 것을 계속 반복하면, 결국 1에서 9까지의 자연수 중 하나가 나오죠. 그럼 이 수는 어떤 수가 될까요?

이건 9의 배수의 성질을 가지고 생각할 수 있는 문제예요.

십진법으로 표현된 n자리 자연수는10n1dn1+10n2dn2++100d0이라고 표현할 수 있어요. 각 10k의 자리가 dk인 거죠. 각 자릿수의 합 dn1+dn2++d0를 비교하면 그 차가999n2dn1+999n3dn2++9d1로 9의 배수이니 두 수를 9로 나눈 나머지가 같아요. 즉, 자릿수의 합을 반복하면 나오는 한 자리 자연수는 주어진 자연수를 9로 나눈 나머지 r가 0이 아니라면 r이고, r=0이면 9가 되는 거죠.

이제 주어진 자연수 44444444에서 자릿수의 합을 세 번 시행하면 몇 자리 자연수가 나오는지 확인해야 겠네요.

44444444<100004444=1017776이니 17776 이하가 되겠죠. 즉, A<917776=159984가 성립해요. 159984보다 작은 자연수 중 자릿수의 합이 가장 큰 수는 99999이니 B45라는 걸 알 수 있죠. 45 이하의 자연수 중 자릿수의 합이 가장 큰 수는 39로 B의 각 자릿수의 합은 12 이하겠네요.

44447(mod9),73(2)3=81(mod9)에서44444444744447(mod9)가 성립하고, 12 이하의 자연수 중 9로 나눈 나머지가 7인 수는 7이 유일하니 구하고자 하는 수는 7이라는 걸 알 수 있죠.


물론 이런 문제에 진법을 바꿔 생각할 수도 있어요. n진법에서 생각한다면 n1로 나눈 나머지를 생각하는 거죠.

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