수학하는 아저씨

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족한다.(가) $x\le3$에서 $f(x)=x\cdot2^{x-1}$이다.(나) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(6-x)$이다.실수 $t(0이 문제는 상당히 까다로워 보이지만, 치환적분 과정에서 관계식을 조금 고민하면 쉽게 풀리는 문제죠.먼저 주어진 함수에 대해 살펴보면, (나)에서 그 그래프가 $x=3$에 대칭이라는 걸 알 수 있어요. 알아보기 쉽게 고친다면 $x=3+p$로 바꿨을 때 $f(3+p)=f(3-p)$가 되죠. 즉, $t=f(s),\quad s이제 적분을 살펴보죠. 주어진 상태로 계산이 어려우니 $t^2=x,\quad2tdt=dx$를 이용해 치환하는 게 좋겠네요.\[I=\int_1^{16}l'\p{\sqrt x}dx=\int_1^42tl'(t)dt.\..

극한\[\lim_{n\to\infty}\p{(2n)!\over n!n^n}^\frac1n\]을 구하시오.얼마 전에 지식iN에서 답변한 문제예요. 확실히 풀기 어렵게 만들어 놓은 까다로운 문제죠.물론 이 글의 제목을 보시면 풀이를 예측하실 수 있는 분도 계실 거예요. 이 문제는 로그함수를 이용해서 풀면 쉬워지죠.먼저 $n\to\infty$에서 $n$을 양의 정수로 제한해도 문제 없다는 걸 알 수 있어요. 그보다 극한 내부에 있는 함수가 보통 양의 정수에서만 정의하는 함수이기도 하죠. $\ln x$의 정의역에 양의 정수가 포함되니, 이 두 함수를 합성해 새로운 함수를 생각하는 거예요.굳이 로그함수를 쓰는 이유는, 식을 간단히 하기 위한 거죠. 극한 내부의 함수가 곱셈을 기본으로 한 연산인 팩토리얼과 거듭제곱..

중심이 점 A(-3,-3)이고 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원 $C$ 위의 점 P에 대해 점 B(3,4)에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이고, 점 B가 직선 OP 위에 있으면 점 Q는 점 B와 같다.)어제 올린 풀이와 비슷한 유형의 문제예요. 다만 그 문제와는 조심해야 할 부분도 다르고 도형에 대해 생각하기 좋은 문제라 풀이를 올려 보기로 했어요.주어진 원 $C$의 방정식은 $(x+3)^2+(y+3)^2=9$가 되죠. 그런데 사실 이 원은 문제 풀이에 거의 상관이 없어요. 중요한 건 점 P가 제3사분면이나 그 경계인 $x$축과 $y$축의 음의 방향에만 올 수 있다는 거죠.점 O와 B는 고정되어 있고 각 OQB는 (Q와 B..

세 점 A$\p{-4,2\sqrt5}$, B$\p{4,-2\sqrt5}$, C$\p{8,3\sqrt5}$에 대해 두 점 P, Q가 다음 조건을 모두 만족한다.(가) 직선 AP의 기울기와 직선 BP의 기울기의 곱은 -1이다.(나) 점 Q는 선분 BP의 중점이다.선분 CQ의 길이의 최댓값은?(가)에서 말하는 기울기의 곱이 -1이라는 건 두 직선이 수직이라는 말이죠. 즉, 삼각형 ABP는 각 P가 직각인 직각삼각형이라는 걸 알 수 있어요. 원주각과 중심각의 관계에 의해 이 삼각형의 외접원은 선분 AB를 지름으로 한다는 걸 알 수 있죠.위 그림과 같이 외접원은 원점 O를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 되겠네요. 여기서 삼각형 OBQ가 ABP와 닮음이니 점 P가 원 위의 점인 것처럼, Q도 $\p{2,-\sqr..

$4444^{4444}$의 각 자릿수의 합을 $A$, $A$의 각 자릿수의 합을 $B$라 할 때, $B$의 각 자릿수의 합을 구하시오.주어진 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 수에 대해 다시 각 자릿수를 더하는 것을 계속 반복하면, 결국 1에서 9까지의 자연수 중 하나가 나오죠. 그럼 이 수는 어떤 수가 될까요?이건 9의 배수의 성질을 가지고 생각할 수 있는 문제예요.십진법으로 표현된 $n$자리 자연수는\[10^{n-1}d_{n-1}+10^{n-2}d_{n-2}+\cdots+10^0d_0\]이라고 표현할 수 있어요. 각 $10^k$의 자리가 $d_k$인 거죠. 각 자릿수의 합 $d_{n-1}+d_{n-2}+\cdots+d_0$를 비교하면 그 차가\[\overbrace{99\cdots9}^{n-2}d_{n..

$a_n=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대해\[a_{n+1}={1\over2+a_n}\]을 만족하는 수열 $a_n$의 일반항을 구하시오.비선형 점화식에 대한 일반적인 풀이는 알려져 있지 않아요. 수열을 변형해서 선형 점화식으로 만들어 푸는 게 보통이죠.문제의 주어진 점화식처럼 분모에 수열의 항이 있거나 여러 항의 곱이 나타나는 경우는 역수를 이용해서 선형 점화식으로 만들죠.\[\frac1{b_{n+1}}=\frac\alpha{b_n}+\beta\]와 같이 수열의 역수가 선형 점화식을 만족한다면\[b_{n+1}={b_n\over\alpha+\beta b_n}\]이라는 점화식을 얻을 수 있어요.위의 식에 맞춰 주어진 점화식을 변형해 보면\[p+a_{n+1}={1+2p+pa_n\over2+a_n}={\fra..

$S$는 곡면 $x^2+y^2+z^2=1,\quad x+y+z\ge1$이다. $F(x,y,z)=(z+1,0,x+y)$일 때 $\abs{\iint_SF\cdot dS}$의 값은?사실 저는 이 벡터장에 대한 면적분의 표현방법을 그리 좋아하지 않아요. 물론 이해하고 나면 구분할 수 있지만, 처음 배우는 분들은 헷갈리기 쉬운 표기죠. 제 생각엔 표기에 일관성도 부족해 보여요. 스칼라장에 대한 면적분으로 표현해 보면\[\abs{\iint_SF\cdot\eta dS}\]라고 쓸 수 있죠. 여기서 $\eta$는 곡면 $S$의 단위 법벡터를 나타내는 벡터장이에요.이 적분은 3차원 공간의 각 점에서 $F$라는 힘이 작용할 때 $S$를 지나는 힘의 크기를 구하는 거죠. 그래서 수직방향의 힘의 크기를 적분하는 거예요. 물론..

2의 거듭제곱이 아닌 자연수를 둘 이상의 연속하는 자연수의 합으로 나타내기 위한 일반적인 방법을 찾고 설명하시오.중학교 2학년인 학생분이 올린 질문이에요. 발상이 어렵지는 않지만, 풀이의 설명이 이해하기 힘들었던 것 같아요.2의 거듭제곱은 음이 아닌 정수 $k$에 대해 $2^k$를 말하죠. 1, 2, 4, 8 등의 수예요.어떤 자연수가 2의 거듭제곱이 아니기 위해서는 그 소인수분해에 2가 아닌 소인수, 즉, 홀수인 소인수가 있어야 하죠. 소인수분해에서 2의 거듭제곱인 부분을 제외한 나머지는 홀수의 곱 만으로 나타나니 홀수가 되고, 3 이상의 자연수들의 곱이니 자연수 $m$에 대해 $2m+1$로 쓸 수 있어요.즉, 2의 거듭제곱이 아닌 자연수는 $2^k(2m+1)$로 나타낼 수 있죠. 이 수를 어떤 자연수..

$a(1) $\p{2+\frac12,2+\frac13,2+\frac14,\ldots}$,(2) $\p{\sqrt2+\frac12,\sqrt2+\frac13,\sqrt2+\frac14,\ldots}$.$\cal S$가 생성하는 위상은 $\cal S$를 부분기저 subbase로 가지는 가장 작은 위상이죠. 기저 base는 그 원소들의 합집합으로 모든 개집합을 만들 수 있는 집합족이고, 부분기저는 그 원소들의 유한교집합으로 기저를 구성할 수 있는 집합족이에요.$\cal S$의 원소를 유한교집합해서 만들 수 있는 집합은 $\emp$과 전체 공간인 $\R$, 유리수의 단집합, 그리고 $\cal S$의 원소예요. $\R$을 교집합으로 만들 수 있다는 것에 아직 익숙하지 않은 분을 위해 설명하자면, 전체 공간은 교집..

다음 그림과 같이 예각삼각형 ABC의 두 꼭짓점 A, B에서 각각의 대변에 그은 두 수선의 교점을 P라고 하자. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 4라고 할 때, $\rm\ls{AP}^2+\ls{BC}^2$의 값은?최근에 지식iN에 올라왔던 질문이에요. 보조선을 그릴만 한 곳이 바로 보이지는 않는 조금 까다로운 문제네요.제목에서 눈치채시겠지만 이 문제는 보조선으로 내접사각형을 그리면 되는 문제죠.위 그림처럼 선분 AP와 BP에 평행한 직선을 각각 점 B와 A를 지나도록 그리고, 그 교점을 Q라 할게요. 사각형 AQBP는 당연히 평행사변형이죠. 그리고 점 P가 수선의 교점이니 선분 AQ와 BQ는 각각 AC와 BC에 수직이에요.이제 사각형 AQBC를 살펴보면 그림의 원에 내접하는 사각형이라는 것을 알..