[desmos] 입체도형을 그려보자. - 아르키메데스의 다면체 (1)

아르키메데스의 다면체 Archimedean solid는 볼록 정다면체(플라톤의 다면체 Platonic solid)의 꼭짓점과 모서리를 깎아 만든, 두 가지 이상의 정다각형으로 모든 면이 구성된 입체도형을 말하죠. 서로 다른 정다각형인 면끼리는 당연히 바꿔줄 수 없지만, 꼭짓점에 모인 면들은 모두 같은 구성이므로 한 꼭짓점을 다른 어떤 꼭짓점 위치로 보내도 형태를 그대로 유지할 수 있어요.

꼭짓점을 깎을 때, 정다면체의 중심과 꼭짓점을 잇는 직선에 수직인 평면으로 자르기에, 이 평면들로 만들어지는 입체도형은 쌍대다면체가 되죠. 지난 글에서 쓴 쌍대다면체를 겹쳐 그린 아래의 그림을 보면 이해가 쉬워요.

https://www.desmos.com/3d/lifthjpiov

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쌍대다면체의 면이 각 꼭짓점에서 만나는 모서리들의 중점을 지나죠. desmos에서 그린 방법이 각 면의 방정식을 이용해 부등식으로 표현한 것이니, 쌍대다면체의 부등식을 하나에 모으면 아르키메데스의 다면체 둘을 얻을 수 있어요.

우선 정사면체는 쌍대가 자기 자신이고 모서리의 중점까지 꼭짓점을 깎으면 정팔면체가 되죠. 이건 정다면체이기에 아르키메데스의 다면체라고 하기는 어려워요.

https://www.desmos.com/3d/zhyce3gwcj

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위의 그림은 지난 글에서 쓴 정육면체와 정팔면체의 부등식을 하나로 모은 거예요. 육팔면체 cuboctahedron라고 하죠.

https://www.desmos.com/3d/ts722aajmb

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이번엔 위에서 나왔던 정십이면체와 정이십면체로 만든 거예요. 십이이십면체 icosidodecahedron라고 해요.

위의 두 아르키메데스의 다면체는 각 정다면체 모서리의 중점이 꼭짓점이 되고, 각 면이 180˚ 회전한 형태가 되죠. 쌍대다면체를 같은 방식으로 깎으면 같은 도형이 되구요.

모서리를 삼분할해서 깎는 방법도 있어요. 이런 경우의 이름은 '깎은 정다면체 truncated (regular) polyhedron'라고 하죠. 각 면이 정다각형이 되게 하려면 분할을 잘해야 해요. 정삼각형이라면 삼등분점까지 깎아서 정육각형을 만들 수 있죠. 정사각형을 정팔각형으로 만들려면 가운데 남는 부분이 깎이는 부분의 $\sqrt2$배, 즉, $1:\sqrt2:1$로 나눠야겠네요. 정오각형은 황금비로 생각하면 되죠.

https://www.desmos.com/3d/zvejek4rqq

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https://www.desmos.com/3d/5obbmbm4nr

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https://www.desmos.com/3d/kkbufm3mlq

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위의 세 아르키메데스의 다면체는 각 면이 정삼각형인 정다면체를 깎아 만든 거예요. 특히 마지막의 '깎은 정이십면체'는 보시다시피 흔히 '축구공 모양'이라고 부르는 멕시코 월드컵 공인구 '텔스타 Telstar'의 디자인과 같죠.

https://www.desmos.com/3d/3amdsb66rt

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https://www.desmos.com/3d/erhro0udry

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이 둘은 나머지 두 정다면체를 깎은 거예요. 위의 '깎은 정사면체'도 마찬가지지만, 정다면체의 면에서 변의 수가 두 배가 되니 상당히 큰 면이 생기고, 깎인 꼭짓점은 세 모서리가 만나니 작은 삼각형이 되죠. 한 변의 길이가 같은 삼각형과 육/팔/십각형이니 넓이 차이가 크네요. 도형의 중심으로부터 각 면에 이르는 거리도 차이가 상당하겠죠. 그래서 그나마 가장 비슷한 정다각형을 면으로 가지는 깎은 정이십면체를 축구공 모양으로 사용하는 거겠죠?

오늘 소개한 아르키메데스의 다면체는 모두 7개죠. 이 외에도 6개가 더 있어요. 아직 모서리도 깎은 형태는 소개하지 않았죠. 남은 6개도 다음 기회에 그려볼게요.